Matematyka.pl

Cześć,
Szukam dowodu twierdzenia że przeciwobraz zbioru otwartego/domkniętego przez funkcję ciągłą jest otwarty/domknięty, ale chciałem, żeby było to udowodnione na bazie definicji funkcji ciągłej - ciągowej lub Cauchy'ego (w ostateczności może być na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\)).
Szukam tego dowodu w celach ,,edukacyjnych''.

Takich rzeczy polecam szukać po angielsku, łatwiej coś znaleźć.
Tutaj masz dowód w \(\displaystyle{ \RR^n}\) (Ciebie interesuje „only if"), a teraz pomyśl, czym się od tego różni dowód w dowolnej przestrzeni metrycznej i dlaczego niczym: ... inuity.pdf

BTW Cudzysłów dolny bodajże ALT+0132 z numerycznej.-- 5 cze 2019, o 12:17 --Jeszcze można poszukać dowodu dla przestrzeni topologicznych w ogóle, ale niemetryczne przestrzenie topologiczne są trochę jak ja: nie da się ukryć, że istnieją, ale mało kto ich potrzebuje i mało kto by po nich płakał. ( ͡° ͜ʖ ͡°)( ͡° ͜ʖ ͡°)

To w ogólności- nie jest chyba trudne, ale dawno nie miałem z tym styczności(od czasu gdy miałem topologię na studiach) więc chyba nie przypomnę sobie tego dowodu(mam na myśli dowód, że przeciwobraz przez funkcję ciągłą dowolnego zbioru otwartego jest otwarty).

A już to, że przeciwobraz dowolnego zbioru domkniętego jest domknięty już jest prostym wnioskiem z powyższego.

Niech \(\displaystyle{ \left( X,\mathbb{X} \right) ,\left( Y,\mathbb {Y}\right)}\) będą przestrzeniami topologicznymi, i niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją ciągłą. Niech zbiór \(\displaystyle{ B \subset Y}\) będzie domknięty. Wtedy \(\displaystyle{ B=C'}\), gdzie zbiór \(\displaystyle{ C}\) jest otwarty, wtedy \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{f ^{-1} }\left( B\right)=\stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} }\left( C'=Y \setminus C\right)=\stackrel { \rightarrow }{f ^{-1} } \left( Y\right) \setminus \stackrel { \rightarrow }{ f ^{-1} }\left( C\right) =X \setminus \stackrel { \rightarrow }{f ^{-1} }\left( C\right),}\) gdzie zbiór \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{f ^{-1} }\left( C\right)}\) jest otwarty jako przeciwobraz zbioru otwartego, a więc \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{f ^{-1} }\left( B\right)}\) jest domknięty. \(\displaystyle{ \square}\)

Skoro mowa o topologii to można rozważać taką dziwną przestrzeń topologiczną( przy założeniu aksjomatu regularności teorii mnogości ):

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie liczbą porządkową von Neumanna. Wtedy \(\displaystyle{ \left( X, S\left( X\right)=X \cup \left\{ X\right\} \right) ,}\) jest przestrzenią toplogiczną.

Po pierwsze jest to rodzina podzbiorów \(\displaystyle{ X,}\) gdyż oczywiście \(\displaystyle{ X \subset X,}\) a ponieważ \(\displaystyle{ X}\) jest liczbą porządkową von Neumanna, to każdy element \(\displaystyle{ X}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ X}\).

Można wykazać, że jest to topologia na \(\displaystyle{ X}\) Ponadto jest ona zwarta i spójna( ale w sposób raczej niewłaściwy) .

Wynik spróbuje poprawić, gdyż to zachodzi przy założeniu aksjomatów teorii mnogości (zwłaszcza aksjomatu regularności).
Może tak normalnie (podchodząc naiwnie do teorii mnogości ) udowodnić analogiczne zależności, przy poniższej definicji liczby porządkowej regularnej( dodaje w definicji aksjomat regularności odnośnie tej liczby porządkowej).

Rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) nazwiemy liczbą porządkową regularną, gdy

1. Każdy element \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ \mathbb{X}.}\)
2. \(\displaystyle{ A,B \in \mathbb {X} \Longrightarrow A \in B \vee B \in A \vee A=B.}\)
3. Jeśli \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq \mathbb {A} \subset \mathbb{X}}\) to istnieje zbiór \(\displaystyle{ A \in \mathbb {A}}\), taki ze \(\displaystyle{ A \cap \mathbb{A} =\left\{ \right\}.}\)

Ale musiałbym sprawdzić w literaturze czy dobrze sformułowałem punkt 3.

A potem będzie można się zastanowić.

Jakub Gurak pisze:Można wykazać, że jest to topologia na \(\displaystyle{ X}\) Ponadto jest ona zwarta i spójna( ale w sposób raczej niewłaściwy) .

Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest graniczną liczbą porządkową, to ta przestrzeń nie jest zwarta.

Podejrzewam że autorowi mniej lub bardziej świadomie chodziło o przestrzenie metryczne bo w topologii ogólnej o ciągach by raczej nie wspominał w tym kontekście, są zdradzieckie

\(\displaystyle{ (X,d)}\) oraz \(\displaystyle{ (Y, \rho)}\) niech będą przestrzeniami metrycznymi zaś \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) ciągła. Wtedy NWSR:

a) funkcja jest ciągła w sensie Cauchyego
b) funkcja jest ciągła w sensie Heinego
c) przeciwobrazy zbiorów domkniętych są domknięte
d) przeciwobrazy zbiorów otwartych są otwarte

\(\displaystyle{ a) \Rightarrow b)}\)

Weźmy jakiś ciąg \(\displaystyle{ x_n \in X, x_n \rightarrow x}\). Cel: oznaczmy\(\displaystyle{ f(x)=y}\), chcemy by \(\displaystyle{ f(x_n) \rightarrow y}\) Wystarczy pokazać, że dla dowolnego promienia, w kuli \(\displaystyle{ B(y, \epsilon) \subseteq Y}\)znajduje się nieskończenie wiele wyrazów ciągu \(\displaystyle{ f(x_n)}\). Korzystając z założenia mamy że istnieje taka \(\displaystyle{ \delta}\) że jeśli tylko \(\displaystyle{ x_n \in B(x, \delta)}\) to \(\displaystyle{ f(x_n) \in B(y, \epsilon)}\). Oczywiście dla dowolnej delty, w kuli wokół \(\displaystyle{ x}\) jest nieskończenie wiele elementów ciągu \(\displaystyle{ x_n}\) więc to kończy rozumowanie(bo jeśli tak, to każdy z tych nieskończenie wielu po nałożeniu \(\displaystyle{ f}\) znajdzie się w \(\displaystyle{ B(y, \epsilon)}\)).

\(\displaystyle{ b) \Rightarrow c)}\)

Weźmy dowolny domknięty \(\displaystyle{ F \subseteq Y}\) Chcemy pokazać że \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ F\right]}\) też jest domknięty. Weźmy dowolny zbieżny ciąg(ciągowa definicja domkniętości) \(\displaystyle{ x_n \in f^{-1}\left[ F\right], x_n \rightarrow x}\)
Wystarczy pokazać że \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ F\right]}\)
Z założenia mamy, że \(\displaystyle{ f(x_n) \rightarrow f(x)}\) oraz oczywiście \(\displaystyle{ f(x_n) \in F}\) zatem z domkniętości \(\displaystyle{ F}\) mamy \(\displaystyle{ f(x) \in F}\) Ale o to nam chodziło bo wtedy \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ F\right]}\).

\(\displaystyle{ c) \Rightarrow d)}\)

Ustalmy dowolny otwarty \(\displaystyle{ U \subseteq Y,}\)wtedy \(\displaystyle{ Y \setminus U}\) jest domknięty więc z założenia \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ Y \setminus U\right]}\) jest domknięty, z własności przeciwobrazu \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ U\right]=X \setminus f^{-1}\left[ Y \setminus U\right]}\) a to oznacza że jest on zbiorem otwartym.

\(\displaystyle{ d) \Rightarrow a)}\)

To chyba najłtawiejsza, najbardziej intuicyjna implikacja, ustalamy epsilon, korzystamy z założenia, chcąc nie chcąc wychodzi zbiór otwarty czyli kula o pewnym promieniu który nazywamy deltą, i nagle mamy ciągłość w sensie Cauchyego.

Rafsaf pisze:\(\displaystyle{ a) \Rightarrow b)}\)

Weźmy jakiś ciąg \(\displaystyle{ x_n \in X, x_n \rightarrow x}\). Cel: oznaczmy\(\displaystyle{ f(x)=y}\), chcemy by \(\displaystyle{ f(x_n) \rightarrow y}\) Wystarczy pokazać, że dla dowolnego promienia, w kuli \(\displaystyle{ B(y, \epsilon) \subseteq Y}\)znajduje się nieskończenie wiele wyrazów ciągu \(\displaystyle{ f(x_n)}\). Korzystając z założenia mamy że istnieje taka \(\displaystyle{ \delta}\) że jeśli tylko \(\displaystyle{ x_n \in B(x, \delta)}\) to \(\displaystyle{ f(x_n) \in B(y, \epsilon)}\). Oczywiście dla dowolnej delty, w kuli wokół \(\displaystyle{ x}\) jest nieskończenie wiele elementów ciągu \(\displaystyle{ x_n}\) więc to kończy rozumowanie(bo jeśli tak, to każdy z tych nieskończenie wielu po nałożeniu \(\displaystyle{ f}\) znajdzie się w \(\displaystyle{ B(y, \epsilon)}\)).

Zgodnie z definicją zbieżności ciągu, w kuli \(\displaystyle{ B(y, \epsilon)}\) powinny leżeć prawie wszystkie wyrazy ciągu, a nie nieskończenie wiele.

Wprawdzie zachodzi implikacja:

"jeśli dla każdego ciągu \(\displaystyle{ x_n \to x}\) i dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) w kuli \(\displaystyle{ B(f(x), \varepsilon)}\) leży nieskończenie wiele wyrazów ciągu \(\displaystyle{ f(x_n)}\), to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w sensie Heinego w punkcie \(\displaystyle{ x}\)",

ale skorzystanie z niej wymagałoby dodatkowego uzasadnienia, a zastąpienie czerwonej frazy zieloną, wraz z odpowiednią modyfikacją reszty dowodu, pozwalają tego uniknąć.

Dasio11 pisze: Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest graniczną liczbą porządkową, to ta przestrzeń nie jest zwarta.

Rozumowanie, które przeprowadziłem, polegało na tym, że nie da się pokryć zbioru \(\displaystyle{ X}\) bez użycia zbioru \(\displaystyle{ X}\), a wtedy rozważamy \(\displaystyle{ \left\{ X\right\}}\)- jest to podrodzinna będąca pokryciem \(\displaystyle{ X}\), jednozbiorowa, a więc skończona, i \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem otwartym- jest.

Ale chyba mój początkowy argument zawodzi jeśli rozważymy liczbę porządkową \(\displaystyle{ \omega.}\) Rozważmy rodzinę jej istotnych przedziałów początkowych, czyli po prostu \(\displaystyle{ \NN}\) (według von Neumanna) oznaczmy ją \(\displaystyle{ \mathbb {A}.}\) Wtedy \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb {A}=\omega,}\) a więc jest to pokrycie \(\displaystyle{ \omega}\)(dobrze ) bez użycia \(\displaystyle{ \omega}\) ( więc mój argument zawiódł niestety ), przypuśćmy, że \(\displaystyle{ \omega}\) jest jednak zwarta, wtedy z tego pokrycia można wybrać podpokrycie \(\displaystyle{ \mathbb {B} \subset \mathbb {A}}\) skończone. Ponieważ jest to pokrycie omegi, więc \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{B} \supset \omega,}\) a więc ta suma jest zbiorem nieskończonym. Tymczasem jest to rodzina skończona, złożona że zbiorów rodziny \(\displaystyle{ \mathbb {A},}\) a więc zbiorów skończonych, a więc jej suma jest zbiorem skończonym, sprzeczność. Wobec czego \(\displaystyle{ \omega}\) nie jest zwarta. Teraz dobrze

Dobrze.