Przestrzeń normalna

[Rafsaf]

Męczę się nad próbą dowodu że podprzestrzeń typu \(\displaystyle{ F_{\sigma}}\) przestrzeni normalnej też jest normalna. Ze wskazówki trzeba skorzystać z lematu:
Jeśli w \(\displaystyle{ X \in T_1}\) dla dowolnego domkniętego \(\displaystyle{ F}\) i otwartego \(\displaystyle{ W}\) że \(\displaystyle{ F \subseteq W}\) istnieją \(\displaystyle{ W_1,W_2, ...}\) że \(\displaystyle{ F \subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty}W_i}\) oraz \(\displaystyle{ \overline{W_i} \subseteq W}\) dla każdego \(\displaystyle{ i=1,2, ...}\)to \(\displaystyle{ X}\) jest normalna. (Umiem to nawet udowodnić, jest w Engelkingu )

Co do samego zadania, jeśli \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) i \(\displaystyle{ A = \bigcup _{i=1}^{\infty} G_i}\) gdzie każdy \(\displaystyle{ G_i}\) jest domknięty, to po ustaleniu dowolnego domkniętego \(\displaystyle{ F \subseteq A}\) i otwartego \(\displaystyle{ W \subseteq A}\) że \(\displaystyle{ F \subseteq W}\) wydawało mi się naturalne rozważyć zbiory domknięte \(\displaystyle{ G_i \setminus W}\) i skorzystać z normalności w \(\displaystyle{ X}\) wtedy powstaną pewne \(\displaystyle{ W_i}\) że \(\displaystyle{ F \subseteq W_i}\) tylko nie koniecznie spełniające drugi warunek tzn. by ich domknięcie leżało w \(\displaystyle{ W}\)...

Proszę o wskazówkę

[Dasio11]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ F_1 \subseteq A}\) jest domknięty w \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ W \subseteq A}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ F_1 \subseteq W}\). Kładąc \(\displaystyle{ F_2 = A \setminus W}\), otrzymujemy zbiór \(\displaystyle{ F_2 \subseteq A}\) domknięty w \(\displaystyle{ A}\) i rozłączny z \(\displaystyle{ F_1}\). Pokaż, że wtedy \(\displaystyle{ \overline{F_2}}\) (domknięcie liczone w \(\displaystyle{ X}\)) jest rozłączne z \(\displaystyle{ F_1}\) (ale niekoniecznie z \(\displaystyle{ \overline{F_1}}\)). Potem zastosuj normalność do par \(\displaystyle{ F_1 \cap G_i + \overline{F_2}}\) dla każdego \(\displaystyle{ i \ge 1}\).