Matematyka.pl

Witam, mam problem z pokazaniem pewnego zawierania. Mianowicie
Mamy zbiór \(\displaystyle{ \{a_k-c_n:k,n\in\mathbb{N}\}}\), który jest nigdziegęsty ponadto,
\(\displaystyle{ d_n\to\infty}\) oraz \(\displaystyle{ \{d_n:n\in\mathbb{N}\}\subset\bigcup_{k=1}^{\infty}(c_k-\varepsilon_k,c_k+\varepsilon_k)}\) oraz \(\displaystyle{ a_k\to\infty}\).
I chce pokazać, że \(\displaystyle{ \{a_k-d_n:k,n\in\mathbb{N}\}'\subset\{a_k-c_n:k,n\in\mathbb{N}\}'}\)
Prosiłbym o wskazówki bo zupełnie nie wiem jak się do tego zabrać.

Zakładasz, że \(\displaystyle{ \varepsilon_k \to 0}\) ?

Tak, zapomnialem dodac.

Szkic: załóżmy że \(\displaystyle{ x}\) należy do zbioru po lewej. Wtedy dowolnie blisko ma elementy postaci \(\displaystyle{ a_k - d_n}\). Ale elementy \(\displaystyle{ d_n}\) dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\) leżą dowolnie blisko elementów \(\displaystyle{ c_m}\), zatem \(\displaystyle{ a_k - c_m}\) leży blisko \(\displaystyle{ a_k - d_n}\), które leży blisko \(\displaystyle{ x}\). Czyli \(\displaystyle{ x}\) należy do zbioru po prawej.

Generalnie czuje koncept, ale nie wiem jak pokazać to bardziej formalnie.

No to zacznij dowodzić i wskaż pierwszy moment, w którym się zacinasz. Początek powinieneś umieć: skoro należy pokazać zawieranie dwóch zbiorów, to trzeba ustalić dowolny element z pierwszego z nich i w dalszej części dowodu wykazać, że należy on również do drugiego. Ale to z definicji oznacza, że...

Czy coś w tym stylu jest poprawne.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ x}\) nalezy do zbioru po lewej. Wówczas w dowolnie małym otoczeniu \(\displaystyle{ x}\)
znajdują się punkty postaci \(\displaystyle{ a_k-d_n}\). Z warunku dot. ciągu \(\displaystyle{ d_n}\) mamy, że dla dostatecznie dużego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) wyrazy ciągu \(\displaystyle{ d_n}\) leżą w dowolnie małym otoczeniu elementów ciągu \(\displaystyle{ c_n}\). Zatem elementy ciągu \(\displaystyle{ a_k-d_n}\) leża w pewnym otoczeniu elementów ciągu \(\displaystyle{ a_k-c_n}\) stąd \(\displaystyle{ x}\) również, zatem należy do zbioru po prawej.

SzamanSzaman pisze:Zatem elementy ciągu \(\displaystyle{ a_k-d_n}\) leża w pewnym otoczeniu elementów ciągu \(\displaystyle{ a_k-c_n}\) stąd \(\displaystyle{ x}\) również, zatem należy do zbioru po prawej.

Żeby \(\displaystyle{ x}\) należał do zbioru po prawej, to nie \(\displaystyle{ x}\) musi leżeć w pewnym otoczeniu elementów ciągu \(\displaystyle{ a_k - c_n}\), tylko w każdym sąsiedztwie \(\displaystyle{ x}\) muszą leżeć elementy \(\displaystyle{ a_k - c_n}\).

Zacząć powinieneś tak: ustalmy dowolny \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\). Pokażemy, że w sąsiedztwie \(\displaystyle{ (x - \varepsilon, x + \varepsilon ) \setminus \{ x \}}\) leży pewna liczba postaci \(\displaystyle{ a_k - c_n}\).

Teraz trzeba coś wymyślić. Skoro będziemy korzystać z nierówności trójkąta, to wiadomo, że należy powyższe sąsiedztwo zmniejszyć, na przykład do \(\displaystyle{ \left( x - \frac{\varepsilon}{2}, x + \frac{\varepsilon}{2} \right)}\). Potem można wstępnie wywnioskować z założenia, że w tym sąsiedztwie leży pewien wyraz postaci \(\displaystyle{ a_k - d_n}\). Z kolei \(\displaystyle{ d_n}\) leży \(\displaystyle{ \varepsilon_m}\)-blisko pewnego \(\displaystyle{ c_m}\). Ale nie wiadomo nic o \(\displaystyle{ n}\), więc \(\displaystyle{ \varepsilon_m}\) może nie być dostatecznie mały.

Czyli nie chcemy byle jakiego \(\displaystyle{ a_k - d_n}\) we wspomnianym sąsiedztwie, tylko takiego, że \(\displaystyle{ n}\) jest duże. Jak duże ma być to \(\displaystyle{ n}\) i jak to uzyskać?...

hmm, nie bardzo mam pomysł.

Ustalmy \(\displaystyle{ x \in \{ a_k - d_n : k, n \in \NN \}'}\) i rozważmy dowolne sąsiedztwo \(\displaystyle{ V_x = \left( x - \varepsilon, x + \varepsilon \right) \setminus \{ x \}}\) punktu \(\displaystyle{ x}\).


Krok 1: Na początek wykażemy, że dla każdego dostatecznie dużego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) istnieje takie \(\displaystyle{ m \in \NN}\), że \(\displaystyle{ |d_n - c_m| < \frac{\varepsilon}{2}}\).

W istocie, skoro \(\displaystyle{ \varepsilon_m \to 0}\) przy \(\displaystyle{ m \to \infty}\), to istnieje takie \(\displaystyle{ M \in \NN}\), że \(\displaystyle{ \varepsilon_m \le \frac{\varepsilon}{2}}\) dla \(\displaystyle{ m \ge M}\). Zbiór

\(\displaystyle{ U_M = \bigcup_{m=1}^{M-1} (c_m - \varepsilon_m, c_m + \varepsilon_m)}\)

jest ograniczony a \(\displaystyle{ d_n \to \infty}\) przy \(\displaystyle{ n \to \infty}\), więc istnieje takie \(\displaystyle{ N \in \NN}\), że \(\displaystyle{ d_n \notin U_M}\) dla \(\displaystyle{ n \ge N}\). Z założenia wiemy, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) istnieje \(\displaystyle{ m \in \NN}\), takie że \(\displaystyle{ |d_n - c_m| < \varepsilon_m}\). Jeśli dodatkowo \(\displaystyle{ n \ge N}\), to z rozumowania powyżej musi być \(\displaystyle{ m \ge M}\) (bo w przeciwnym razie \(\displaystyle{ d_n \in U_M}\)), czyli \(\displaystyle{ |d_n - c_m| < \frac{\varepsilon}{2}}\). To kończy dowód kroku 1.

Niech \(\displaystyle{ W_x = \left( x - \frac{\varepsilon}{2}, x + \frac{\varepsilon}{2} \right) \setminus \{ x \}}\).

Krok 2: Sąsiedztwo \(\displaystyle{ W_x}\) zawiera elementy postaci \(\displaystyle{ a_k - d_n}\) dla dowolnie dużych \(\displaystyle{ n \in \NN}\).

W przeciwnym razie istniałoby takie \(\displaystyle{ N \in \NN}\), że dla \(\displaystyle{ n \ge N}\) sąsiedztwo \(\displaystyle{ W_x}\) nie zawiera żadnego elementu postaci \(\displaystyle{ a_k - d_n}\). Skoro jednak \(\displaystyle{ a_k \to \infty}\), to dla każdego \(\displaystyle{ n \in \{ 1, 2, \ldots, N-1 \}}\) to sąsiedztwo zawiera tylko skończenie wiele elementów postaci \(\displaystyle{ a_k - d_n}\). Zbiór

\(\displaystyle{ W_x \setminus \{ a_k - d_n : k, n \in \NN \} = W_x \setminus \underbrace{\bigcup_{n=1}^{N-1} \{ a_k - d_n : k \in \NN \}}_{\text{skończony}}}\)

zawiera więc pewne otwarte sąsiedztwo punktu \(\displaystyle{ x}\) rozłączne ze zbiorem \(\displaystyle{ \{ a_k - d_n : k, n \in \NN \}}\), co jest sprzeczne z założeniem, że \(\displaystyle{ x \in \{ a_k - d_n : k, n \in \NN \}'}\). To kończy dowód kroku 2.


Na mocy kroku 1 i kroku 2 możemy teraz wybrać takie \(\displaystyle{ n, m \in \NN}\), że przedział \(\displaystyle{ \left( x - \frac{\varepsilon}{2}, x + \frac{\varepsilon}{2} \right)}\) zawiera pewien wyraz postaci \(\displaystyle{ a_k - d_n}\) a ponadto \(\displaystyle{ |d_n - c_m| < \frac{\varepsilon}{2}}\). Stąd

\(\displaystyle{ |a_k - c_m - x| \le |a_k - d_n - x| + |d_n - c_m| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon}\),

czyli wyraz \(\displaystyle{ a_k - c_m}\) leży w zadanym sąsiedztwie \(\displaystyle{ V_x}\).

Proponuję rozważyć jako \(\displaystyle{ (a_n)}\) i \(\displaystyle{ (c_n)}\) numeracje zbioru liczb całkowitych \(\displaystyle{ \mathbb Z}\). Wtedy \(\displaystyle{ \{a_n-c_k:k,n\in{\mathbb N}\}=\mathbb Z}\) i zbiór jego punktów skupienia jest pusty.
Weźmy teraz ciąg \(\displaystyle{ d_n= c_n+\frac{1}{2^n}}\). Wtedy zero jest punktem skupienia zbioru \(\displaystyle{ \{a_n-d_k:k,n\in{\mathbb N}\}}\).