Zbiór otwarty

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

Zbiór otwarty

Post autor: Rozbitek »

Uczę się teorii miary i trafiłem na coś czego nie umiem przebić, więc jakby ktoś był tak miły i chciał mi pomóc, to będę wdzięczny.
Nie mogę zrozumieć czym właściwie jest zbiór otwarty.
Wiem, że jest to dowolny element topologi w przestrzeni topologicznej, ale czy to znaczy, że zbiorem otwartym jest DOWOLNY zbiór, byle należał on do topologii?
Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Zbiór otwarty

Post autor: leg14 »

Tak
Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

Zbiór otwarty

Post autor: Rozbitek »

A czy istnieje zbiór domknięty, którego podzbiory nie są otwarte?
Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Zbiór otwarty

Post autor: leg14 »

Tak, np. \(\displaystyle{ [0,1]}\) jest domknięty w naturalnej topologii w \(\displaystyle{ \RR}\), a
jego podzbiór \(\displaystyle{ (0,1]}\) nie jest otwarty.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Zbiór otwarty

Post autor: a4karo »

Możesz sprecyzować pytanie? Bo podzbiorem każdego zbioru jest zbiór pusty, a ten jest otwarty z definicji
Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

Re: Zbiór otwarty

Post autor: Rozbitek »

a4karo, to odpowiada na moje pytanie, dziękuję.

Mam jeszcze jedno:
Jeżeli mamy przestrzeń zdarzeń elementarnych, na przykład: \(\displaystyle{ \left\{\mbox{Orzeł, Reszka}\right\}}\) (przy jednokrotnym rzucie monetą), to jak będzie wyglądało ustalone na niej sigma-ciało \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\)?

\(\displaystyle{ \mathcal{F} = \left\{ \emptyset, \mbox{ Orzeł, Reszka, }\left\{\mbox{Orzeł, Reszka}\right\}\right\}}\)?

Czy zdarzenia elementarne będą zbiorami otwartymi?
Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Zbiór otwarty

Post autor: leg14 »

Czy zdarzenia elementarne będą zbiorami otwartymi?
A masz jakąś topologię na tym zbiorze?
Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

Re: Zbiór otwarty

Post autor: Rozbitek »

leg14, zdaje się, że trzeci aksjomat nie jest spełniony, bo: \(\displaystyle{ \left\{ \mbox{Orzeł, Orzeł}\right\} \notin \mathcal{F}}\)?
Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Zbiór otwarty

Post autor: leg14 »

1. Co ma topologia, do tego, czy spełnione są aksjomaty sigma ciała?
2. \(\displaystyle{ \left\{ Orzeł\right\} \cup \left\{ Orzeł\right\} = \left\{ Orzeł\right\}}\)
3. Przekonaj się (tzn rozpisz to sobie, żeby się utrwaliło), że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ X}\)
\(\displaystyle{ P(X)}\) (zbiór potęgowy) jest sigma ciałem na tym zbiorze.
4.Przypuszczam, że ta cała konfuzja wynika (między innymi) z niezrozumienia związku między
sogam ciałem, topologią, sigma ciałem zbiorów borelowskich.

Definicja sigma ciała nie ma nic do topologii i vice versa.
Chyba , że mówimy o specjalnie zdefiniowanych sigma ciałach, które korzystają z istnienia topologii
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbiór otwarty

Post autor: Jan Kraszewski »

Rozbitek pisze:\(\displaystyle{ \mathcal{F} = \left\{ \emptyset, \mbox{ Orzeł, Reszka, }\left\{\mbox{Orzeł, Reszka}\right\}\right\}}\)?
Sigma ciało zbiorów jest rodziną zbiorów, a to nie jest rodzina zbiorów.

JK
Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

Re: Zbiór otwarty

Post autor: Rozbitek »

leg14, miałem na myśli aksjomaty topologii.

Jan Kraszewski, \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) musi być sigma-ciałem przestrzeni zdarzeń elementarnych, zatem musi zawierać zbiór pusty i całą przestrzeń.
Rozumiem, że to co napisałem ma się do tego nijak, ale powstaje pytanie: jak zrobić, żeby rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) była sigmaciałem?
Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Zbiór otwarty

Post autor: leg14 »

Jan ma na myśli to, że poprawnym zapisem jest:
\(\displaystyle{ \mathcal{F} = \left\{ \emptyset,\left\{ \mbox{ Orzeł} \right\} ,\left\{\mbox{ Reszka }, \right\} \left\{\mbox{Orzeł, Reszka}\right\}\right\}}\)

Które aksjomaty topologii/ sigma ciała nie są tutaj spełnione?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbiór otwarty

Post autor: Jan Kraszewski »

Rozbitek pisze: Jan Kraszewski, \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) musi być sigma-ciałem przestrzeni zdarzeń elementarnych, zatem musi zawierać zbiór pusty i całą przestrzeń.
Jego elementami muszą być zbiór pusty i cała przestrzeń. Zawieranie to inna bajka.
leg14 pisze:Jan ma na myśli to, że poprawnym zapisem jest:
\(\displaystyle{ \mathcal{F} = \left\{ \emptyset,\left\{ \mbox{ Orzeł} \right\} ,\left\{\mbox{ Reszka }, \right\} \left\{\mbox{Orzeł, Reszka}\right\}\right\}}\)
Modulo przecinek:

\(\displaystyle{ \mathcal{F} = \left\{ \emptyset,\left\{ \mbox{Orzeł} \right\} ,\left\{\mbox{Reszka} \right\}, \left\{\mbox{Orzeł, Reszka}\right\}\right\}.}\)

JK
Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

Re: Zbiór otwarty

Post autor: Rozbitek »

A zdarzenia elementarne nie są same w sobie zbiorami?
Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Re: Zbiór otwarty

Post autor: leg14 »

ODPOWIEDZ