Hej, mam oszacować średnicę kuli, niech będzie otwarta, w dowolnej metryce. Mój pomysł jest taki (chodzi mi o potwierdzenie albo radę jak zrobić inaczej):
\(\displaystyle{ diam(K(a,r)) = sup\left\{ d(x,y): x,y\in K(a,r)\right\}}\)
Teza: \(\displaystyle{ diam(K(a,r)) \le 2r}\) w dowolnej metryce.
Dowód:
Nie wprost: hp: \(\displaystyle{ \exists x,y \in K(a,r) : d(x,y)>2r}\)
Z nierówności trójkąta: (oczywiście a jest środkiem kuli i r to promień): \(\displaystyle{ d(x,y) \le d(x,a)+d(a,y) < r + r = 2r}\) sprzeczność.
Będzie? Oczywiście supremum może być mniejsze - oczywiście w metryce dyskretnej. Chodzi tylko o oszacowanie.
