Czy funkcja jest metryką?

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Dejvid96
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 2 lis 2018, o 12:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 4 razy

Czy funkcja jest metryką?

Post autor: Dejvid96 »

Rozpatrujemy przestrzeń \(\displaystyle{ C[a,b]}\), na niej funkcję daną wzorem:
\(\displaystyle{ d(f,g)=\min \{2,\sup _{t\in[a,b]}(|f(t)-g(t)|)\}.}\)
Czy \(\displaystyle{ d}\) jest metryką?
Doszedłem do tego, że warunek \(\displaystyle{ d(f,g)\ge 0}\) jest spełniony, ponieważ \(\displaystyle{ 2\ge 0}\) i supremum z wartości bezwzględnej jest większe lub równe zero.
\(\displaystyle{ d(f,g)=0\Leftrightarrow f=g}\). supremum będzie \(\displaystyle{ 0}\), gdy \(\displaystyle{ f=g}\). Wtedy otrzymuję \(\displaystyle{ \min \{2,0\}=0}\), czyli też warunek jest spełniony.
Symetria \(\displaystyle{ d(f,g)=d(g,f)}\) też zachodzi.
Nie wiem jak poradzić sobie z warunkiem trójkąta: \(\displaystyle{ d(f,g)\le d(f,h)+d(h,g).}\)
Proszę o pomoc i sprawdzenie mojego toku rozumowania
Ostatnio zmieniony 22 mar 2019, o 00:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Czy funkcja jest metryką?

Post autor: Premislav »

Na razie wygląda OK, może tylko za bardzo zbyłeś kwestię symetrii (chociaż rzeczywiście jest dość jasna). W tej nierówności trójkąta wystarczy ustalić dowolne funkcje \(\displaystyle{ f,g,h\in C[a,b]}\) i rozważyć dwa przypadki: \(\displaystyle{ d(f,g)\ge 2}\) oraz \(\displaystyle{ d(f,g)< 2}\), wychodzi dość automatycznie.
Dejvid96
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 2 lis 2018, o 12:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 4 razy

Re: Czy funkcja jest metryką?

Post autor: Dejvid96 »

Premislav pisze:Na razie wygląda OK, może tylko za bardzo zbyłeś kwestię symetrii (chociaż rzeczywiście jest dość jasna).

Chodziło mi tu o to, że jeżeli zamienimy kolejność w nawiasie minimum, to nie zmienia wyniku, bo wybieramy "najmniejszy" składnik. Mam nadzieję, że dobrze myślę, bo już czasem człowiek głupieje przy prostych rzeczach.
Nadal nie rozumiem o co chodzi z nierównością trójkąta. Czy mam wybrać konkretne funkcje z \(\displaystyle{ C[a,b]}\)? Np. \(\displaystyle{ x,x^2,x^3}\)? Czy mógłbyś mi rozpisać ten warunek?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Czy funkcja jest metryką?

Post autor: Premislav »

Raczej z symetrią, to ona wynika z tego, że \(\displaystyle{ |x-y|=|y-x|}\) dla dowolnych rzeczywistych \(\displaystyle{ x,y}\), stąd bowiem \(\displaystyle{ |f(t)-g(t)|=|g(t)-f(t)|}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ f,g\in C[a,b]}\) i \(\displaystyle{ t\in[a,b]}\), no i w związku z tym suprema też są równe.
Czy mam wybrać konkretne funkcje z \(\displaystyle{ C[a,b]}\)? Np.\(\displaystyle{ x,x^2,x^3}\)?
Nie, masz to zrobić w ogólności, przecież mogłyby się zdarzyć inne funkcje, które tego nie spełniają

Ustalmy dowolne funkcje \(\displaystyle{ f,g,h\in C[a,b]}\). Uzasadnimy, że zachodzi
\(\displaystyle{ d(f,g)\le d(f,h)+d(h,g)}\). rozważmy w tym celu dwa przypadki:
\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Jeżeli \(\displaystyle{ \sup_{t\in [a,b]}|f(t)-g(t)|\ge 2}\), to \(\displaystyle{ d(f,g)=2}\). Przypuśćmy nie wprost, że wówczas \(\displaystyle{ d(f,h)+d(h,g)<2}\). To oczywiście oznacza, że
\(\displaystyle{ \sup_{t\in [a,b]}|f(t)-h(t)|<2}\) i \(\displaystyle{ \sup_{t\in [a,b]}|h(t)-g(t)|<2}\) (w przeciwnym razie mamy po lewej stronie nierówności \(\displaystyle{ d(f,h)+d(h,g)<2}\) sumę dwójki i czegoś nieujemnego). Zatem
\(\displaystyle{ d(f,h)+d(h,g)=\sup_{t\in[a,b]}|f(t)-h(t)|+\sup_{t\in [a,b]}|h(t)-g(t)|\ge \\ \ge \sup_{t\in [a,b]}\left( |f(t)-h(t)|+|h(t)-g(t)|\right)}\).
(nie chce mi się udowadniać tej nierówności, powinna być jasna; w związku z tym, że funkcja ciągła na niepustym zbiorze zwartym osiąga kresy, dowód tej nierówności jest bardzo łatwy, gdyż można po prostu wziąć punkt realizujący to \(\displaystyle{ \sup_{t\in [a,b]}\left( |f(t)-h(t)|+|h(t)-g(t)|\right)}\)).
Ponadto ze zwykłej nierówności trójkąta dla wartości bezwzględnej dla każdego \(\displaystyle{ t\in [a,b]}\) mamy
\(\displaystyle{ |f(t)-h(t)|+|h(t)-g(t)|\ge |f(t)-g(t)|}\) i z uwagi na to, że wzięcie supremum zachowuje słabe nierówności (tez mi się nie chce tego udowadniać)
\(\displaystyle{ \sup_{t\in [a,b]}\left(|f(t)-h(t)|+|h(t)-g(t)| \right) \ge \sup_{t\in [a,b]}\left(|f(t)-g(t)| \right)}\),
ale przecież rozważamy przypadek, w którym \(\displaystyle{ \sup_{t\in [a,b]}|f(t)-g(t)|\ge 2}\)
Otrzymaliśmy: \(\displaystyle{ 2>d(f,h)+d(h,g)\ge 2}\), czyli sprzeczność.

\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Jeżeli \(\displaystyle{ \sup_{t\in [a,b]}|f(t)-g(t)|< 2}\), to \(\displaystyle{ d(f,g)=\sup_{t\in [a,b]}|f(t)-g(t)|}\) i albo któraś z wartości \(\displaystyle{ \sup_{t\in[a,b]}|f(t)-h(t)|}\), \(\displaystyle{ \sup_{t\in [a,b]}|h(t)-g(t)|}\) jest nie mniejsza niż \(\displaystyle{ 2}\), a wtedy
\(\displaystyle{ d(f,g)<2\le d(f,h)+d(h,g)}\), czyli koniec, albo obie są mniejsze niż \(\displaystyle{ 2}\) i wtedy znów sprawa sprowadza się do nierówności
\(\displaystyle{ \sup_{t\in[a,b]}|f(t)-h(t)|+\sup_{t\in [a,b]}|h(t)-g(t)|\ge \sup_{t\in [a,b]}|f(t)-g(t)|}\)
Dejvid96
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 2 lis 2018, o 12:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 4 razy

Re: Czy funkcja jest metryką?

Post autor: Dejvid96 »

Dziękuję za pomoc, teraz muszę to przetrawić
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Czy funkcja jest metryką?

Post autor: Dasio11 »

Proponuję w trzech częściach:

(1) \(\displaystyle{ d_0(f, h) \le d_0(f, g) + d_0(g, h)}\), gdzie \(\displaystyle{ d_0(f_1, f_2) = \sup_{t \in [a, b]} |f_1(t) - f_2(t)|.}\)

Dowód: ustalmy \(\displaystyle{ f, g, h \in C[a, b]}\). Dla każdego \(\displaystyle{ t \in [a, b]}\) zachodzi

\(\displaystyle{ {|f(t) - h(t)| = |f(t) - g(t) + g(t) + h(t)| \le |f(t) - g(t)| + |g(t) - h(t)| \le d(f, g) + d(g, h)}.}\)

Prawa strona jest więc ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ \{ |f(t) - h(t)| : t \in [a, b] \}}\), zatem

\(\displaystyle{ d(f, h) = \sup_{t \in [a, b]} |f(t) - h(t)| \le d(f, g) + d(g, h).}\)

(2) Dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y, z \in \RR}\) jeśli \(\displaystyle{ x \le y + z}\), to \(\displaystyle{ \min \{ 2, x \} \le \min \{ 2, y \} + \min \{ 2, z \}.}\)

Dowód: rozważmy dwa przypadki. Jeśli któreś z minimum po prawej wynosi \(\displaystyle{ 2}\), to

\(\displaystyle{ \min \{ 2, x \} \le 2 \le 2 + \text{drugie minimum} = \min \{ 2, y \} + \min \{ 2, z \}.}\)

W przeciwnym razie prawa strona wynosi \(\displaystyle{ y+z}\), więc

\(\displaystyle{ \min \{ 2, x \} \le x \le y + z,}\)

co kończy dowód.

(3) Stosując (2) do \(\displaystyle{ x = d_0(f, h), y = d_0(f, g), z = d_0(g, h)}\), dostajemy \(\displaystyle{ d(f, h) \le d(f, g) + d(f, h).}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Czy funkcja jest metryką?

Post autor: a4karo »

A może tak: jeżeli \(\displaystyle{ e}\) jest metryką i \(\displaystyle{ a>0}\), to \(\displaystyle{ d=\min\{a,e\}}\) jest metryką

\(\displaystyle{ d(x,t)+d(t,y)=\min\{a,e(x,t)\}+\min\{a,e(t,y)\}\\
=\min\{2a,a+e(x,t),a+e(t,y),e(x,t)+e(t,y)\}\\
\geq \min\{a,e(x,t)+e(t,y)\}\geq \min\{a,e(x,y)\}=d(x,y)}\)


A to, że \(\displaystyle{ e(x,y)=\sup_t |x(t)-y(t)|}\) jest metryką jest elementarne
ODPOWIEDZ