Niezmiennik topologiczny

[piotrtoip]

Udowodnić, że \(\displaystyle{ T_{1}}\) jest niezmiennikiem topologicznym.
Mam tyle:
Niech \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) oraz \(\displaystyle{ Y}\) jest \(\displaystyle{ T_{1}}\).
Wykażę z definicji, że \(\displaystyle{ X}\) jest \(\displaystyle{ T_{1}}\).
Ustalam \(\displaystyle{ x, y \in X.}\).
\(\displaystyle{ U,V \neq \emptyset}\).
Wtedy \(\displaystyle{ f(x), f(y) \in Y.}\)
Co dalej? Nie mogę pokazać tego jak dla \(\displaystyle{ T_{2}}\), bo część wspólna \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) nie jest zbiorem pustym. Czy może mi ktoś pomóc z zakończeniem dowodu? Z góry dziękuję.

[Jan Kraszewski]

Ale skąd ty masz dwa zbiory \(\displaystyle{ U,V}\) przy \(\displaystyle{ T_1}\) ?

JK

[piotrtoip]

Ale skąd ty masz dwa zbiory \(\displaystyle{ U,V}\) przy \(\displaystyle{ T_1}\) ?

JK

Aksjomat \(\displaystyle{ T_{1}}\) z wykładu:
Dla dwóch różnych punktów istnieją: zbiór otwarty U, który zawiera pierwszy punkt z nich i nie zawiera drugiego oraz istnieje zbiór otwarty V, który zawiera drugi punkt, a nie zawiera pierwszego.

[Jan Kraszewski]

To dość dziwna definicja (w sensie jej sformułowania), bo dwa razy powtarza to samo, zatem jej połowa jest zbędna.

Standardowa definicja \(\displaystyle{ T_1}\) to:

Dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in X}\) takich, że \(\displaystyle{ x\ne y}\) istnieje zbiór otwarty \(\displaystyle{ U}\) taki, że \(\displaystyle{ x\in U}\) i \(\displaystyle{ y\notin U}\).

Ale nawet korzystając z Twojej definicji możesz przeprowadzić swój dowód. Musisz tylko zrozumieć, co masz pokazać, bo mam wrażenie, że nie wiesz...

JK

[piotrtoip]

Nie wiem, dlatego proszę o pomoc.

[Jan Kraszewski]

No to zacznij od ustalenia, co to znaczy, że coś jest niezmiennikiem topologicznym. Skoro używasz tego pojęcia, to powinieneś znać definicję.

JK

[mgrtank]

Mam nadzieję, że jeszcze się przyda.

Edycja zgodnie z sugestią Dasio11. Niestety nie dopowiedziałem dość ważnego elementu toku rozumowania. Na marginesie, myślę, że takie niedopowiedzenia mają pozytywy, ponieważ rodzą pytania.

Mamy pokazać, że \(\displaystyle{ T_1}\) jest niezmiennikiem homeomorfizmu.
Niech więc \(\displaystyle{ h:X \rightarrow Y}\) homeomorfizm przestrzeni \(\displaystyle{ T}\) w przestrzeń \(\displaystyle{ T_1 \: Y}\), niech \(\displaystyle{ x,y \in X \: x \neq y}\) wtedy \(\displaystyle{ f(x), f(y) \in Y \: f(x) \neq f(y)}\) z założenia istnieje \(\displaystyle{ U \subseteq
Y}\) otwarty taki, że \(\displaystyle{ f(x) \in U}\) oraz \(\displaystyle{ f(y) \notin U}\). Wówczas \(\displaystyle{ f^{-1}}\) otwarty oraz \(\displaystyle{ x \in f^{-1}}\) i \(\displaystyle{ y \notin f^{-1}}\) cbdu.

[Dasio11]

niech \(\displaystyle{ x,y \in X}\) wtedy \(\displaystyle{ f(x), f(y) \in Y}\) z założenia istnieje [...]

Tu powinieneś najpierw założyć dodatkowo, że \(\displaystyle{ x \neq y}\), a potem korzystając z różnowartościowości \(\displaystyle{ f}\) wywnioskować, że \(\displaystyle{ f(x) \neq f(y)}\), - bez tego nie można by było skorzystać z definicji przestrzeni \(\displaystyle{ T1}\).