Mam zadanie, by pokazać, że aksjomaty \(\displaystyle{ T_{1}}\) i \(\displaystyle{ T_{2}}\) są niezmiennikami topologicznymi.
Rozrysowałem to sobie. Dla \(\displaystyle{ T_{2}}\) (Hausdorffa) rozpisałem:
\(\displaystyle{ f^{-1}(U) \cap f^{-1}(U) = f^{-1}(U \cap V) = f^{-1}(\emptyset)= \emptyset}\),
gdzie \(\displaystyle{ f(x) \neq f(y)}\) oraz \(\displaystyle{ U \cap V=\emptyset}\) .
Czy to jest dobrze?
A jak to pokazać dla \(\displaystyle{ T_{1}}\) ?
Z góry dziękuję za pomoc.
Niezmiennik topologiczny
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 3 lut 2018, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
Niezmiennik topologiczny
Ostatnio zmieniony 21 mar 2019, o 01:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Niezmiennik topologiczny
To nie jest rozwiązanie, tylko najwyżej jego krótki wycinek. Początek pełnego dowodu wygląda tak: załóżmy, że \(\displaystyle{ f : X \to Y}\) jest homeomorfizmem oraz \(\displaystyle{ Y}\) jest \(\displaystyle{ T2}\). Wykażemy z definicji, że \(\displaystyle{ X}\) też jest \(\displaystyle{ T2}\). Ustalmy więc dowolne różne punkty \(\displaystyle{ x_1, x_2 \in X}\). Wtedy punkty \(\displaystyle{ f(x_1), f(x_2) \in Y}\) też są różne, więc...piotrtoip pisze:\(\displaystyle{ f^{-1}(U) \cap f^{-1}(U) = f^{-1}(U \cap V) = f^{-1}(\emptyset)= \emptyset}\),
gdzie \(\displaystyle{ f(x) \neq f(y)}\) oraz \(\displaystyle{ U \cap V=\emptyset}\) .
Czy to jest dobrze?