Niezmiennik topologiczny

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
piotrtoip
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 3 lut 2018, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy

Niezmiennik topologiczny

Post autor: piotrtoip »

Mam zadanie, by pokazać, że aksjomaty \(\displaystyle{ T_{1}}\) i \(\displaystyle{ T_{2}}\) są niezmiennikami topologicznymi.

Rozrysowałem to sobie. Dla \(\displaystyle{ T_{2}}\) (Hausdorffa) rozpisałem:
\(\displaystyle{ f^{-1}(U) \cap f^{-1}(U) = f^{-1}(U \cap V) = f^{-1}(\emptyset)= \emptyset}\),
gdzie \(\displaystyle{ f(x) \neq f(y)}\) oraz \(\displaystyle{ U \cap V=\emptyset}\) .
Czy to jest dobrze?
A jak to pokazać dla \(\displaystyle{ T_{1}}\) ?
Z góry dziękuję za pomoc.
Ostatnio zmieniony 21 mar 2019, o 01:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Niezmiennik topologiczny

Post autor: Dasio11 »

piotrtoip pisze:\(\displaystyle{ f^{-1}(U) \cap f^{-1}(U) = f^{-1}(U \cap V) = f^{-1}(\emptyset)= \emptyset}\),
gdzie \(\displaystyle{ f(x) \neq f(y)}\) oraz \(\displaystyle{ U \cap V=\emptyset}\) .
Czy to jest dobrze?
To nie jest rozwiązanie, tylko najwyżej jego krótki wycinek. Początek pełnego dowodu wygląda tak: załóżmy, że \(\displaystyle{ f : X \to Y}\) jest homeomorfizmem oraz \(\displaystyle{ Y}\) jest \(\displaystyle{ T2}\). Wykażemy z definicji, że \(\displaystyle{ X}\) też jest \(\displaystyle{ T2}\). Ustalmy więc dowolne różne punkty \(\displaystyle{ x_1, x_2 \in X}\). Wtedy punkty \(\displaystyle{ f(x_1), f(x_2) \in Y}\) też są różne, więc...
piotrtoip
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 3 lut 2018, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy

Re: Niezmiennik topologiczny

Post autor: piotrtoip »

Dziękuję.
ODPOWIEDZ