odcinki homeomorficzne

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
piotrtoip
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 3 lut 2018, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

odcinki homeomorficzne

Post autor: piotrtoip » 17 mar 2019, o 16:56

Pokaż, że odcinki \(\displaystyle{ (0,1]}\) i \(\displaystyle{ [0,1)}\) są homeomorficzne. Czy ktoś mógłby to rozwiązać? Z góry dziękuję!
Ostatnio zmieniony 17 mar 2019, o 17:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25999
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4350 razy

Re: odcinki homeomorficzne

Post autor: Jan Kraszewski » 17 mar 2019, o 17:10

A próbowałeś sam to zrobić? Bo to bardzo elementarne zadanie (zakładając oczywiście, że mamy w obu przypadkach standardową topologię odziedziczoną z prostej).

JK

piotrtoip
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 3 lut 2018, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

odcinki homeomorficzne

Post autor: piotrtoip » 19 mar 2019, o 00:14

Gdy miałem zadanie, by pokazać że odcinki \(\displaystyle{ (0, \infty ) , ( -\infty , 0)}\) są homeomorfizmem, to znalazłem po prostu funkcję \(\displaystyle{ \frac{-1}{x}}\) , lecz z powyższym przykładem nie wiem co zrobić.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14526
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 4783 razy

Re: odcinki homeomorficzne

Post autor: Premislav » 19 mar 2019, o 00:22

To tutaj można zrobić analogicznie, tylko że z funkcją \(\displaystyle{ f(x)=1-x}\).

piotrtoip
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 3 lut 2018, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

odcinki homeomorficzne

Post autor: piotrtoip » 19 mar 2019, o 11:33

Ok, dziękuję.

Sumire
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 23 cze 2015, o 17:14
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Re: odcinki homeomorficzne

Post autor: Sumire » 11 wrz 2019, o 13:37

Ja natomiast mam zadanie, aby pokazać, że odcinki \(\displaystyle{ (0,1]}\) i \(\displaystyle{ (0,1)}\) z topologią dziedziczoną z \(\mathbb R\) nie są homeomorficzne.

Próbuję rozumować to w ten sposób:

Załóżmy, że \(\displaystyle{ (0,1]}\) jest homeomorficzny z \(\displaystyle{ (0,1)}\) (homeomorfizm to \(\displaystyle{ f:(0,1]\rightarrow(0,1)}\)).
Wtedy, przez usunięcie \(\displaystyle{ 1}\) z \(\displaystyle{ (0,1]}\) i przez jego obraz \(\displaystyle{ c=f(1)}\) w \(\displaystyle{ (0,1)}\), mielibyśmy, że \(\displaystyle{ (0,1)}\) jest homeomorficzny z \(\displaystyle{ (0,c)\cup(c,1)}\).
Ale ponieważ \(\displaystyle{ (0,1)}\) jest homeomorficzny z \(\mathbb R\), więc \(\mathbb R\) musiałby być także homeomorficzny z \(\displaystyle{ (0,c)\cup(c,1)}\) . Stąd mielibyśmy, że można zapisać \(\mathbb R\) jako suma rozłącznych, niepustych zbiorów otwartych, co jest oczywiście niemożliwe.

Czy powyższe rozumowanie ma sens?
Ostatnio zmieniony 11 wrz 2019, o 13:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14526
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 4783 razy

Re: odcinki homeomorficzne

Post autor: Premislav » 11 wrz 2019, o 13:59

Jak najbardziej.

Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 248
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 34 razy
Pomógł: 43 razy

Re: odcinki homeomorficzne

Post autor: Gosda » 11 wrz 2019, o 17:31

Powyższe rozumowanie nie tylko ma sens, ale także proste uogólnienie: funkcja "zbiór liczb \(\displaystyle{ n}\) takich, że istnieje podzbiór \(\displaystyle{ Y \subset X}\) mocy \(\displaystyle{ n}\), że zbiór \(\displaystyle{ X \setminus Y}\) ma tyle samo składowych spójności, co \(\displaystyle{ X}\)" (gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią topologiczną), jest niezmiennikiem przestrzeni topologicznych.

Brzmi skomplikowanie, ale używa się tego bardzo prosto :P Z odcinka domkniętego jednostronnie można usunąć jeden punkt, i dalej mamy przestrzeń spójną. Z odcinkiem otwartym to się nie udaje, więc te dwie przestrzenie nie są homeomorficzne. Podobnie: półprosta domknięta i okrąg, albo prosta i płaszczyzna, itd.

ODPOWIEDZ