odcinki homeomorficzne

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
piotrtoip
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 3 lut 2018, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

odcinki homeomorficzne

Post autor: piotrtoip » 17 mar 2019, o 16:56

Pokaż, że odcinki \((0,1]\) i \([0,1)\) są homeomorficzne. Czy ktoś mógłby to rozwiązać? Z góry dziękuję!
Ostatnio zmieniony 17 mar 2019, o 17:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 24932
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: odcinki homeomorficzne

Post autor: Jan Kraszewski » 17 mar 2019, o 17:10

A próbowałeś sam to zrobić? Bo to bardzo elementarne zadanie (zakładając oczywiście, że mamy w obu przypadkach standardową topologię odziedziczoną z prostej).

JK

piotrtoip
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 3 lut 2018, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

odcinki homeomorficzne

Post autor: piotrtoip » 19 mar 2019, o 00:14

Gdy miałem zadanie, by pokazać że odcinki \((0, \infty ) , ( -\infty , 0)\) są homeomorfizmem, to znalazłem po prostu funkcję \(\frac{-1}{x}\) , lecz z powyższym przykładem nie wiem co zrobić.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14145
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: odcinki homeomorficzne

Post autor: Premislav » 19 mar 2019, o 00:22

To tutaj można zrobić analogicznie, tylko że z funkcją \(f(x)=1-x\).

piotrtoip
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 3 lut 2018, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

odcinki homeomorficzne

Post autor: piotrtoip » 19 mar 2019, o 11:33

Ok, dziękuję.

Sumire
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 23 cze 2015, o 17:14
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Re: odcinki homeomorficzne

Post autor: Sumire » 11 wrz 2019, o 13:37

Ja natomiast mam zadanie, aby pokazać, że odcinki \((0,1]\) i \((0,1)\) z topologią dziedziczoną z \(\mathbb R\) nie są homeomorficzne.

Próbuję rozumować to w ten sposób:

Załóżmy, że \((0,1]\) jest homeomorficzny z \( (0,1)\) (homeomorfizm to \(f:(0,1]\rightarrow(0,1)\)).
Wtedy, przez usunięcie \(1\) z \((0,1]\) i przez jego obraz \(c=f(1)\) w \((0,1)\), mielibyśmy, że \((0,1)\) jest homeomorficzny z \((0,c)\cup(c,1)\).
Ale ponieważ \((0,1)\) jest homeomorficzny z \(\mathbb R\), więc \(\mathbb R\) musiałby być także homeomorficzny z \((0,c)\cup(c,1)\) . Stąd mielibyśmy, że można zapisać \(\mathbb R\) jako suma rozłącznych, niepustych zbiorów otwartych, co jest oczywiście niemożliwe.

Czy powyższe rozumowanie ma sens?
Ostatnio zmieniony 11 wrz 2019, o 13:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14145
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: odcinki homeomorficzne

Post autor: Premislav » 11 wrz 2019, o 13:59

Jak najbardziej.

Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu

Re: odcinki homeomorficzne

Post autor: Gosda » 11 wrz 2019, o 17:31

Powyższe rozumowanie nie tylko ma sens, ale także proste uogólnienie: funkcja "zbiór liczb \(n\) takich, że istnieje podzbiór \(Y \subset X\) mocy \(n\), że zbiór \(X \setminus Y\) ma tyle samo składowych spójności, co \(X\)" (gdzie \(X\) jest przestrzenią topologiczną), jest niezmiennikiem przestrzeni topologicznych.

Brzmi skomplikowanie, ale używa się tego bardzo prosto :P Z odcinka domkniętego jednostronnie można usunąć jeden punkt, i dalej mamy przestrzeń spójną. Z odcinkiem otwartym to się nie udaje, więc te dwie przestrzenie nie są homeomorficzne. Podobnie: półprosta domknięta i okrąg, albo prosta i płaszczyzna, itd.

ODPOWIEDZ