Homeomorfizm między kulami i między kulą a przestrzenią

[niewadzkak]

Wykaż, że dowolne dwie kule w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^n}\) są homeomorficzne. Czy istnieje homeomorficzne pomiędzy każdą taką kulą a przestrzenią \(\displaystyle{ \RR^n}\)?

W jaki sposób zabrać się do tego zadania? Czy muszę znaleźć bijekcję między kulami czy można do tego podejść na bardziej teoretycznym poziomie? Zagadnienie wydaje się proste do wyobrażenia (każdą kulę łatwo "rozciągnąć" bądź "skurczyć" w inną), ale formalnie nie potrafię tego pokazać.

Co do drugiej części zadania - czy ma to związek z rzutem stereograficznym? Czy mogę tę płaszczyznę utożsamić w jakiś sposób z przestrzenią?

[leg14]

Chodzi o kule otwarte tak?

[niewadzkak]

Tak, o kule otwarte. Mój błąd, że nie dopisałam.

[Dasio11]

Zagadnienie wydaje się proste do wyobrażenia (każdą kulę łatwo "rozciągnąć" bądź "skurczyć" w inną), ale formalnie nie potrafię tego pokazać.

Masz dobrą intuicję. Zastanów się, jakie ciągłe przekształcenie \(\displaystyle{ \RR^n}\) można zinterpretować jako "rozciąganie" lub "kurczenie". Potem ewentualnie popraw je, żeby przekształcało ustaloną kulę \(\displaystyle{ B(x, r)}\) na inną ustaloną kulę \(\displaystyle{ B(y, s)}\).

[niewadzkak]

W tym właśnie problem, że nie wiem, jak takie przekształcenie miałoby wyglądać. Kompletnie nie mam pomysłu, w jaki sposób je znaleźć.

[leg14]

Kula jest charaketryzowana jednoznacznie przez dwie stałe - środek i promień.

Proponuję zacząć od pokazania, że dwie kule o równym promieniu są homeomorficzne.

Wskazówka:
Jeśli znajdziesz homeomorfizm
\(\displaystyle{ T : \RR^n \rightarrow \RR^n}\)
przerzucający te dwie kule na siebie, to po obcięciu go do nich (tych dwóch kul)
otrzymasz szukane przekształcenie.