Wykaż, że T jest topologią porządkową.

[Mendzik]

Cześć, proszę o wszelkie wskazówki dotyczące rozwiązania tego zadania. Nie wiem czego się złapać aby zacząć.

Wykaż, że \(\displaystyle{ \mathcal{T}_{<} = \mathcal{T}(\{(a,\rightarrow):a\in X\}\cup\{(\leftarrow,b):b\in X\})}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{T}_{<}}\) jest topologią porządkową na zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ (X,<)}\).

Wiem, czym jest topologia porządkowa i wiem czym są zbiory \(\displaystyle{ \{(a,\rightarrow):a\in X\}}\) i \(\displaystyle{ \{(\leftarrow,b):b\in X\}}\). Nadal jednak nie wiem jak to ruszyć. Proszę o pomoc.

Pozdrawiam serdecznie i z góry dziękuję za poświęcony czas.

[Dasio11]

Jakiej używasz definicji topologii porządkowej?

A póki co ogólnie: równość topologii to równość dwóch rodzin zbiorów, więc dowodzi się jej przez dwa zawierania. Oznaczmy

\(\displaystyle{ \mathcal{A} = \{ (a, \rightarrow) : a \in X \} \cup \{ (\leftarrow, b) : b \in X \}}\).

Aby udowodnić zawieranie \(\displaystyle{ \mathcal{T}(\mathcal{A}) \subseteq \mathcal{T}_<}\), wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ \mathcal{A} \subseteq \mathcal{T}_<}\) - co powinno być trywialne, niezależnie od definicji topologii porządkowej - a następnie skorzystać z definicji \(\displaystyle{ \mathcal{T}(\mathcal{A})}\) jako najmniejszej topologii na \(\displaystyle{ X}\) zawierającej \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\).

W drugą stronę przypuszczalnie wygodniej będzie skorzystać z charakteryzacji \(\displaystyle{ \mathcal{T}(\mathcal{A})}\) jako rodziny podzbiorów \(\displaystyle{ X}\) złożonej z dowolnych sum postaci \(\displaystyle{ \bigcup_{i \in I} A_i}\), gdzie każdy \(\displaystyle{ A_i}\) jest przekrojem skończenie wielu zbiorów z rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\). Aby pokazać drugie zawieranie, należy zatem ustalić dowolny element \(\displaystyle{ \mathcal{T}_<}\) i przedstawić go w powyższej postaci.

[Mendzik]

Jakiej używasz definicji topologii porządkowej?

Używam definicji z książki Archangielskiego: "Topologią porządkową \(\displaystyle{ \mathcal{T}_{<}}\), w zbiorze \(\displaystyle{ X}\), generowaną przez liniowy porządek <, nazywamy topologię, której bazę stanowią wszelkie możliwe przedziały otwarte zbioru liniowo uporządkowanego \(\displaystyle{ (X,<)}\)".

[Dasio11]

Jak rozumiem, "wszelkie możliwe przedziały otwarte" oznacza przedziały postaci \(\displaystyle{ (a, b)}\) dla \(\displaystyle{ a, b \in X}\) takich że \(\displaystyle{ a < b}\) oraz \(\displaystyle{ (a, \rightarrow)}\) i \(\displaystyle{ (\leftarrow, a)}\) dla \(\displaystyle{ a \in X}\)? Jeśli tak, to wskazówki z mojego poprzedniego posta w zasadzie wystarczają.