Homeomorfizm i permutacja

[matmatmm]

Niech \(\displaystyle{ n\in\NN}\) oznaczmy

\(\displaystyle{ \sigma:=\left(\begin{array}{cccccc}1&2&3&\ldots &n-1&n\\2&3&4&\ldots &n &1\end{array}\right)}\)
\(\displaystyle{ \tau:=\left(\begin{array}{cccccc}1&2&3&\ldots &n-1&n\\n&n-1&n-2&\ldots &2 &1\end{array}\right)}\)

Na zbiorze \(\displaystyle{ X=[0,1)}\) rozważamy topologię taką, że za bazę przyjmujemy wszystkie przedziały otwarte zawarte w \(\displaystyle{ [0,1)}\) oraz zbiory postaci \(\displaystyle{ [0,epsilon)cup(1-epsilon,1)}\).

Niech \(\displaystyle{ t_1,\ldots,t_n\in X}\) oraz \(\displaystyle{ t_1<\ldots<t_n}\), niech \(\displaystyle{ \xi:X\rightarrow X}\) będzie homeomorfizmem i niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie permutacją zbioru \(\displaystyle{ \{1,\ldots,n\}}\) taką, że \(\displaystyle{ \xi(t_{\alpha(1)})<\ldots< \xi(t_{\alpha(n)})}\).

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \alpha}\) należy do podgrupy \(\displaystyle{ S(n)}\) generowanej przez \(\displaystyle{ \sigma}\) i \(\displaystyle{ \tau}\).

[Dasio11]

Sprytnego sposobu nie widzę, a idea dowodu technicznego wygląda tak:

0. Utożsamiamy \(\displaystyle{ X}\) z okręgiem \(\displaystyle{ S^1}\) (z którym \(\displaystyle{ X}\) jest homeomorficzna).

1. Oznaczamy przez \(\displaystyle{ I_n}\) zbiór ciągów rosnących \(\displaystyle{ t : \{ 1, \ldots, n \} \to X}\). Definiujemy funkcję

\(\displaystyle{ \Phi_n : \{ \text{homeomorfizmy} : X \to X \} \times I_n \to S(n)}\),

taką że \(\displaystyle{ \Phi_n(\xi, t) = \alpha}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \xi(t_{\alpha(1)}) < \ldots < \xi(t_{\alpha(n)})}\) czyli inaczej \(\displaystyle{ \xi \circ t \circ \alpha \in I_n}\).

Następnie zauważamy, że jeśli \(\displaystyle{ \Phi_n(\zeta, t) = \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \Phi_n(\xi, \zeta \circ t \circ \alpha) = \beta}\), to \(\displaystyle{ \xi \circ \zeta \circ t \circ \alpha \circ \beta \in I_n}\), zatem \(\displaystyle{ \Phi_n( \xi \circ \zeta, t ) = \alpha \circ \beta}\).

2. Ustalamy \(\displaystyle{ \xi}\) i przedstawiamy je jako złożenie trzech homeomorfizmów: \(\displaystyle{ \xi = f \circ g \circ h}\), gdzie:

- \(\displaystyle{ f : S^1 \to S^1}\) jest bądź symetrią względem prostej \(\displaystyle{ y = 0}\), bądź identycznością (w zależności od tego, czy \(\displaystyle{ \xi}\) zmienia czy zachowuje orientację okręgu);

- \(\displaystyle{ g : S^1 \to S^1}\) jest obrotem;

- \(\displaystyle{ h : [0, 1) o [0, 1)}\) jest taki, że \(\displaystyle{ h(0) = 0}\) i \(\displaystyle{ h}\) jest funkcją rosnącą.

3. Zauważamy, że dla dowolnego ciągu \(\displaystyle{ t \in I_n}\) mamy \(\displaystyle{ \Phi_n( f, t ) \in \left< \tau \right> \cup \{ \sigma \circ \tau \}}\), \(\displaystyle{ \Phi_n( g, t ) \in \left< \sigma \right>}\) oraz \(\displaystyle{ \Phi_n( h, t ) = \mathrm{id}}\).

4. Łączymy powyższe wyniki.

[matmatmm]

A znasz może jakiś sprytny sposób na pokazanie, że \(\displaystyle{ X}\) jest homeomorficzna z okręgiem? Udało mi się pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ x\mapsto e^{2\pi i x}}\) jest ciągłą bijekcją, ale zostaje jeszcze ciągłość odwrotnej.

[Dasio11]

Wystarczy pokazać, że obraz dowolnego zbioru bazowego w \(\displaystyle{ X}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ S^1}\). No i jest.

[matmatmm]

No dobra. Spróbujmy to udowodnić. Oznaczmy \(\displaystyle{ f:[0,1)
ightarrow S^1}\)
\(\displaystyle{ f(x)=e^{2\pi i x}}\). Niech \(\displaystyle{ Bsubseteq [0,1)}\) będzie bazowy.

Pierwszy przypadek: \(\displaystyle{ B=(p,q)}\) dla pewnych \(\displaystyle{ p,qin [0,1), p<q}\). Wówczas
\(\displaystyle{ f=\{e^{2\pi i x}:x\in (p,q)\}}\).

Chcemy sprawdzić, że jest to zbiór otwarty w \(\displaystyle{ S^1}\). Ustalmy \(\displaystyle{ y_0\in f}\). Wówczas istnieje \(\displaystyle{ x_0\in (p,q)}\) takie, że \(\displaystyle{ y_0=f(x_0)}\). Niech \(\displaystyle{ \varepsilon:=\min\{\left| y_0-f(p)\right|,\left| y_0-f(q)\right| \}}\).

Pytanie jak teraz sprawdzić, że \(\displaystyle{ K(y_0,\varepsilon)\cap S^1\subseteq f}\) ?

Z drugiej strony jak teraz na to patrzę, to zauważyłem, że funkcja odwrotna do \(\displaystyle{ f}\) jest to argument główny dzielony przez \(\displaystyle{ 2\pi}\), a zatem funkcja ciągła wszędzie poza \(\displaystyle{ 1}\). \(\displaystyle{ f}\) jest to przeciwobraz zbioru \(\displaystyle{ (p,q)}\) przez \(\displaystyle{ f^{-1}}\).
\(\displaystyle{ g:=f^{-1}|_{S^1\setminus\{1\}}}\) jest funkcją ciągłą. Ponieważ \(\displaystyle{ f^{-1}(1)=0}\) oraz \(\displaystyle{ (p,q)\subseteq (0,1)}\), więc \(\displaystyle{ \left( f^{-1}\right) ^{-1}=g^{-1}}\) i jest to zbiór otwarty w \(\displaystyle{ S^1\setminus\{1\}}\), a więc także w \(\displaystyle{ S^1}\).

Czy da się dokończyć ten dowód z epsilonem i czy dowód z wykorzystaniem ciągłości argumentu głównego jest dobry? Czy miałeś na myśli jeszcze jakiś inny dowód?

No i zostaje jeszcze przypadek zbioru bazowego drugiego typu.