Istnienie kuli w przestrzeni metrycznej

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
matluk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 9 paź 2017, o 23:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Istnienie kuli w przestrzeni metrycznej

Post autor: matluk » 28 lut 2019, o 14:33

Podczas czytania pewnego artykułu matematycznego, natrafiłem na miejsce w dowodzie, którego nie umiem przejść. Załóżmy, że \(\displaystyle{ (X,d)}\) jest przestrzenią metryczną (ośrodkową i zupełną, ale nie wiem czy to ważne w moim pytaniu) oraz \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest otwarty i niepusty. Zdefiniujmy \(\displaystyle{ Y:=cl A}\). Załóżmy, że istnieje zbiór \(\displaystyle{ V\subset Y}\) otwarty i niepusty w przestrzeni Y. Autor artykułu twierdzi, że wtedy istnieje kula otwarta \(\displaystyle{ B}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ (X,d)}\) taka, że \(\displaystyle{ B \subset V}\). Proszę o pomoc w dowodzie, o ile to jest w ogóle prawda.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1993
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 291 razy

Re: Istnienie kuli w przestrzeni metrycznej

Post autor: matmatmm » 28 lut 2019, o 15:17

Definicja zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej się kłania.

Rodzina kul otwartych jest bazą topologii. Skoro \(\displaystyle{ V}\) jest otwarty i niepusty, to istnieje \(\displaystyle{ x\in V}\) i wprost z definicji bazy istnieje zbiór bazowy \(\displaystyle{ B}\) (czyli kula otwarta) taki, że \(\displaystyle{ x\in B\subset V}\).

matluk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 9 paź 2017, o 23:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Re: Istnienie kuli w przestrzeni metrycznej

Post autor: matluk » 28 lut 2019, o 15:29

Ja mogę napisać, że dokładność się kłania Ja akurat definicję znam i to dobrze. Proszę zauważyć, że ta kula istnieje w przestrzeni \(\displaystyle{ Y}\), to nie jest to samo co kula w przestrzeni \(\displaystyle{ X}\). A w tezie chodzi o istnienie kuli w przestrzeni \(\displaystyle{ X}\).

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1993
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 291 razy

Re: Istnienie kuli w przestrzeni metrycznej

Post autor: matmatmm » 28 lut 2019, o 16:16

Ale palnąłem gafę. Po chwili namysłu mam rozwiązanie. Wszystkie domknięcia i wnętrza są w przestrzeni \(\displaystyle{ X}\)

Udowodnimy, że \(\displaystyle{ \mathrm{int}V\neq\emptyset}\).

Skoro \(\displaystyle{ V}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ \mathrm{cl}A}\), to istnieje zbiór \(\displaystyle{ U}\) otwarty w \(\displaystyle{ X}\) taki, że

\(\displaystyle{ V=U\cap\mathrm{cl}A}\)

Z założenia \(\displaystyle{ V\neq\emptyset}\). Jedna z charakteryzacji domknięcia gwarantuje w tej sytuacji, że \(\displaystyle{ U\cap A\neq\emptyset}\).
Ponadto ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest otwarty mamy

\(\displaystyle{ A=\mathrm{int}A\subset \mathrm{int}\mathrm{cl}A}\)

Ostatecznie

\(\displaystyle{ \emptyset\neq U\cap A\subsetU\subset U\cap\mathrm{int}\mathrm{cl}A=\mathrm{int}U\cap\mathrm{int}\mathrm{cl}A=\mathrm{int}(U\cap\mathrm{cl}A)=\mathrm{int}V}\)

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9329
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2041 razy

Re: Istnienie kuli w przestrzeni metrycznej

Post autor: Dasio11 » 28 lut 2019, o 18:00

matmatmm pisze:Ponadto ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest otwarty mamy

\(\displaystyle{ A=\mathrm{int}A\subset \mathrm{int}\mathrm{cl}A}\)

Ostatecznie

\(\displaystyle{ \emptyset\neq U\cap A\subsetU\subset U\cap\mathrm{int}\mathrm{cl}A=\mathrm{int}U\cap\mathrm{int}\mathrm{cl}A=\mathrm{int}(U\cap\mathrm{cl}A)=\mathrm{int}V}\)
Zamiast tego można było napisać, że \(\displaystyle{ U \cap A}\) jest otwarty i \(\displaystyle{ U \cap A \subseteq V}\), więc \(\displaystyle{ \varnothing \neq U \cap A \subseteq \mathrm{int} \, V}\).

matluk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 9 paź 2017, o 23:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Istnienie kuli w przestrzeni metrycznej

Post autor: matluk » 28 lut 2019, o 18:37

matmatmm dziękuję za rozwiązanie a Dasio11 dziękuję za uproszczenie

ODPOWIEDZ