Dwie topologie (ciaglosc)

[Elek112]

Szukam przykladu dwoch topologii w zbiorze \(\displaystyle{ X}\), \(\displaystyle{ T}\) i \(\displaystyle{ T'}\) takich, ze przeksztalcenie identycznosciowe \(\displaystyle{ (X,T) \rightarrow (X,T')}\) ciagle a
\(\displaystyle{ (X,T') \rightarrow (X,T)}\) nie jest odwzorowaniem ciaglym. Mozliwie jak najprostsze

[leg14]

Wskazowka:

iech jedna z tych topologii bedzie antydyskretna

[Dasio11]

Bezpośrednio z definicji, odwzorowanie identycznościowe \(\displaystyle{ (X, T) \to (X, T')}\) jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ T' \subseteq T}\), a odwzorowanie identycznościowe \(\displaystyle{ (X, T') \to (X, T)}\) nie jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ T \not \subseteq T'}\). Szukasz więc przykładu dwóch topologii \(\displaystyle{ T}\) i \(\displaystyle{ T'}\), takich że \(\displaystyle{ T}\) jest ściśle bogatsza od \(\displaystyle{ T'}\).