Metryzowalność w sposób zupełny

[Piotrkl]

Miałem zadanie na egzaminie o treści:

Niech \(\displaystyle{ D_{t} =\left\{ (x,y,t) \in \RR^{3} : x ^{2}+y^{2} \le 1 \right\}, S=\left\{\left( p,q,0\right) \in \RR^{3} : p^{2}+q^{2} < 1, p,q \in \QQ \right\}}\) . Niech \(\displaystyle{ I\left( a,b\right)}\) oznacza odcinek domknięty o końcach w punktach \(\displaystyle{ a, b}\). Zdefiniujmy zbiór \(\displaystyle{ X}\):

\(\displaystyle{ X = D _{0} \cup \left( \bigcup_{\left( p,q,0\right) \in S }I\left( \left( p,q,0\right),\left( p,q,p\right) \right) \right) \subset \RR^{3}}\).

Zbadać czy przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) jest metryzowalna w sposób zupełny.


Ciężko jest mi zacząć to zadanie, bo nie mam intuicji czy ta przestrzeń faktycznie jest metryzowalna w sposób zupełny czy nie. Jeśli tak to rozumiem że trzeba by jakoś zmodyfikować metrykę na odcinkach tak żeby ciągi zbiegające do domknięcia tego zbioru nie były Cauchy’ego. Mam nadzieje że nie brzmię głupio ale niestety topologia jest dla mnie momentami za trudna.

[leg14]

Coś pomyliles w tresci, bo teraz \(\displaystyle{ X = D_0}\)

[Piotrkl]

Coś pomyliles w tresci, bo teraz \(\displaystyle{ X = D_0}\)

Treść jest poprawna, jest to dysk z wyrastającymi odcinkami o średnicy p, w punktach na dysku, o współrzędnych wymiernych mniejszych niż 1, leżących pod lub nad dyskiem w zależności od znaku p.

[Dasio11]

Treść jest poprawna

Potwierdzam.

Na początku musisz wiedzieć, że przestrzeń \(\displaystyle{ \QQ}\) z metryką euklidesową nie jest metryzowalna w sposób zupełny, co wynika z twierdzenia Baire'a.

Teraz: gdyby \(\displaystyle{ X}\) była metryzowalna w sposób zupełny, to nietrudno pokazać, że każdy domknięty podzbiór \(\displaystyle{ X}\) też byłby metryzowalny w sposób zupełny. Czy potrafisz znaleźć domknięty podzbiór \(\displaystyle{ X}\), który taki nie jest?

[Piotrkl]

Zbiór \(\displaystyle{ A=\left\{ \left( p,0,p\right) \in R^{3}:p \in\left( -1,1\right) \cap Q \right\}}\) jest domknięty, bo dla dowolonego punktu \(\displaystyle{ \left( p _{0},0,z \right) =y _{0} \in A, z<\left| p _{0} \right|}\) istnieje taka kula w przestrzeni euklidesowej \(\displaystyle{ B\left( \left( p_{0},0,x\right), \frac{\left| p_{0}\right| -\left| x\right| }{ \sqrt{2} } \right)}\) taka, że \(\displaystyle{ B\left( \left( p_{0},0,x\right), \frac{\left| p_{0}\right| -\left| x\right| }{ \sqrt{2} } \right) \cap X \cap A=\emptyset}\) (promień wziąłem z tego, że punkty \(\displaystyle{ \left(p_{0},0,p_{0}\right) \ \left(p_{0},0,x \right) \ \left(x,0,x\right)}\) tworzą trójkąt prostokątny i promień to wysokość padająca na przeciwprostokątną).

Metryzowalna zupełność domkniętego podzbioru \(\displaystyle{ Y}\) przestrzeni metryzowalnie zupełnej \(\displaystyle{ X}\) wynika z tego, że obcinamy wybraną metrykę zupełną do tej podprzestrzeni \(\displaystyle{ Y}\) i każdy ciąg Cauchy'ego w \(\displaystyle{ Y}\) jest też Cauchy'ego w \(\displaystyle{ X}\) zatem z zupełności \(\displaystyle{ X}\) musi on być zbieżny do pewnego \(\displaystyle{ y \in X}\), który również \(\displaystyle{ y\in \overline{Y}=Y}\) czyli jest zbieżny w \(\displaystyle{ Y}\).

Zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest homeomorficzny z \(\displaystyle{ \left(-1,1\right) \cap Q \subset R}\). W owej przestrzeni nie zachodzi Tw. Baire'a, suma różnych od siebie singletonów sumujących się do tej przestrzeni nie jest zbiorem brzegowym, gdzie singletony są brzegowe (puste wnętrze) oraz domknięte.