Metryzowalność w sposób zupełny

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Piotrkl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 18 lut 2019, o 18:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Metryzowalność w sposób zupełny

Post autor: Piotrkl » 18 lut 2019, o 19:20

Miałem zadanie na egzaminie o treści:

Niech \(\displaystyle{ D_{t} =\left\{ (x,y,t) \in \RR^{3} : x ^{2}+y^{2} \le 1 \right\}, S=\left\{\left( p,q,0\right) \in \RR^{3} : p^{2}+q^{2} < 1, p,q \in \QQ \right\}}\) . Niech \(\displaystyle{ I\left( a,b\right)}\) oznacza odcinek domknięty o końcach w punktach \(\displaystyle{ a, b}\). Zdefiniujmy zbiór \(\displaystyle{ X}\):

\(\displaystyle{ X = D _{0} \cup \left( \bigcup_{\left( p,q,0\right) \in S }I\left( \left( p,q,0\right),\left( p,q,p\right) \right) \right) \subset \RR^{3}}\).

Zbadać czy przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) jest metryzowalna w sposób zupełny.


Ciężko jest mi zacząć to zadanie, bo nie mam intuicji czy ta przestrzeń faktycznie jest metryzowalna w sposób zupełny czy nie. Jeśli tak to rozumiem że trzeba by jakoś zmodyfikować metrykę na odcinkach tak żeby ciągi zbiegające do domknięcia tego zbioru nie były Cauchy’ego. Mam nadzieje że nie brzmię głupio ale niestety topologia jest dla mnie momentami za trudna.
Ostatnio zmieniony 18 lut 2019, o 22:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Metryzowalność w sposób zupełny

Post autor: leg14 » 18 lut 2019, o 19:51

Coś pomyliles w tresci, bo teraz \(\displaystyle{ X = D_0}\)

Piotrkl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 18 lut 2019, o 18:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Metryzowalność w sposób zupełny

Post autor: Piotrkl » 18 lut 2019, o 20:03

leg14 pisze:Coś pomyliles w tresci, bo teraz \(\displaystyle{ X = D_0}\)
Treść jest poprawna, jest to dysk z wyrastającymi odcinkami o średnicy p, w punktach na dysku, o współrzędnych wymiernych mniejszych niż 1, leżących pod lub nad dyskiem w zależności od znaku p.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9328
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2040 razy

Metryzowalność w sposób zupełny

Post autor: Dasio11 » 18 lut 2019, o 22:47

[quote="Piotrkl"]Treść jest poprawna[/quote] Potwierdzam.

Na początku musisz wiedzieć, że przestrzeń \(\displaystyle{ \QQ}\) z metryką euklidesową nie jest metryzowalna w sposób zupełny, co wynika z twierdzenia Baire'a.

Teraz: gdyby \(\displaystyle{ X}\) była metryzowalna w sposób zupełny, to nietrudno pokazać, że każdy domknięty podzbiór \(\displaystyle{ X}\) też byłby metryzowalny w sposób zupełny. Czy potrafisz znaleźć domknięty podzbiór \(\displaystyle{ X}\), który taki nie jest?

Piotrkl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 18 lut 2019, o 18:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Re: Metryzowalność w sposób zupełny

Post autor: Piotrkl » 19 lut 2019, o 12:01

Zbiór \(\displaystyle{ A=\left\{ \left( p,0,p\right) \in R^{3}:p \in\left( -1,1\right) \cap Q \right\}}\) jest domknięty, bo dla dowolonego punktu \(\displaystyle{ \left( p _{0},0,z \right) =y _{0} \in A, z<\left| p _{0} \right|}\) istnieje taka kula w przestrzeni euklidesowej \(\displaystyle{ B\left( \left( p_{0},0,x\right), \frac{\left| p_{0}\right| -\left| x\right| }{ \sqrt{2} } \right)}\) taka, że \(\displaystyle{ B\left( \left( p_{0},0,x\right), \frac{\left| p_{0}\right| -\left| x\right| }{ \sqrt{2} } \right) \cap X \cap A=\emptyset}\) (promień wziąłem z tego, że punkty \(\displaystyle{ \left(p_{0},0,p_{0}\right) \ \left(p_{0},0,x \right) \ \left(x,0,x\right)}\) tworzą trójkąt prostokątny i promień to wysokość padająca na przeciwprostokątną).

Metryzowalna zupełność domkniętego podzbioru \(\displaystyle{ Y}\) przestrzeni metryzowalnie zupełnej \(\displaystyle{ X}\) wynika z tego, że obcinamy wybraną metrykę zupełną do tej podprzestrzeni \(\displaystyle{ Y}\) i każdy ciąg Cauchy'ego w \(\displaystyle{ Y}\) jest też Cauchy'ego w \(\displaystyle{ X}\) zatem z zupełności \(\displaystyle{ X}\) musi on być zbieżny do pewnego \(\displaystyle{ y \in X}\), który również \(\displaystyle{ y\in \overline{Y}=Y}\) czyli jest zbieżny w \(\displaystyle{ Y}\).

Zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest homeomorficzny z \(\displaystyle{ \left(-1,1\right) \cap Q \subset R}\). W owej przestrzeni nie zachodzi Tw. Baire'a, suma różnych od siebie singletonów sumujących się do tej przestrzeni nie jest zbiorem brzegowym, gdzie singletony są brzegowe (puste wnętrze) oraz domknięte.

ODPOWIEDZ