Jan Kraszewski pisze:W obu \(\displaystyle{ t}\) jest równocześnie zmienną wolną i związaną (a ponadto występują zmienne wolne \(\displaystyle{ q,d}\), co nie zostało uwzględnione w nazewnictwie), ponadto oba deklarują opis tego samego zbioru \(\displaystyle{ A_t}\) na dwa różne, nierównoważne sposoby.
Elek112 pisze:czy jak zapisze
\(\displaystyle{ A_{t}=\left\{ t \in R: t=q-d\right\}}\)
\(\displaystyle{ A_{t}=\left\{ t \in R: t \in Q-D\right\}}\)
to będzie poprawnie?
Wszystkie uwagi podane przez
Jana Kraszewskiego w takim samym stopniu dotyczą Twojej nowej propozycji, także następnym razem postaraj się te uwagi uwzględnić. Żeby Ci to ułatwić, omawiam je poniżej.
1. Zapis
\(\displaystyle{ \{ t \in \RR : t = q - d \}}\) oznacza ni mniej, nie więcej, tylko: zbiór takich liczb rzeczywistych, które równają się
\(\displaystyle{ q-d}\). Nawiasem mówiąc, taka liczba rzeczywista jest dokładnie jedna i równa
\(\displaystyle{ q-d}\), zatem ten zbiór jest jednoelementowy, ale chcę przekazać coś innego. Literka
\(\displaystyle{ t}\) jest tu użyta jako oznaczenie dowolnej liczby rzeczywistej, aby następnie można było napisać warunek decydujący, czy owa liczba do zbioru ma należeć, czy też nie - tym warunkiem jest
\(\displaystyle{ t = q - d}\). A więc ten zbiór można inaczej opisać jako zbiór takich liczb rzeczywistych
\(\displaystyle{ t}\), że zachodzi równość
\(\displaystyle{ t = q - d}\).
Z kolei zapis
\(\displaystyle{ A_t = \{ \ldots \}}\) oznacza, że definiujesz nie pojedynczy zbiór, ale całą rodzinę zbiorów, indeksowaną liczbami rzeczywistymi. Jest to więc skrót oznaczający, że jednocześnie definiujemy
\(\displaystyle{ A_1, A_{-4}}\) a także
\(\displaystyle{ A_{\sqrt{2}}}\) i
\(\displaystyle{ A_{\pi}}\), no i ogólnie
\(\displaystyle{ A_t}\) dla każdej innej liczby rzeczywistej
\(\displaystyle{ t}\). Przykładowo można by napisać
\(\displaystyle{ A_t = \{ t-1, t+1 \}}\) i wtedy w szczególności
\(\displaystyle{ A_1 = \{ 0, 2 \}}\),
\(\displaystyle{ A_{-4} = \{ -5, -3 \}}\) i
\(\displaystyle{ A_{\pi} = \{ \pi - 1, \pi + 1 \}}\).
Teraz: gdybyś napisał
\(\displaystyle{ A_{\textcolor{red}{t}} = \{ \textcolor{blue}{t} \in \RR : t^2 = t \}}\), to nie wiadomo, czy
\(\displaystyle{ t}\) w warunku
\(\displaystyle{ t^2 = t}\) ma oznaczać tę liczbę rzeczywistą
\(\displaystyle{ \textcolor{blue}{t}}\), której przynależność do powyższego zbioru badamy, czy też liczbę rzeczywistą
\(\displaystyle{ \textcolor{red}{t}}\), od której uzależniliśmy naszą definicję. Z tego powodu jest to zapis bardzo nieelegancki i nieprzejrzysty (choć z pewnych formalnych względów poprawny).
Natomiast gdybyś napisał
\(\displaystyle{ A_t = \{ s \in \RR : s^2 = t \}}\), to byłoby poprawnie i wtedy
\(\displaystyle{ A_t = \{ \sqrt{t}, -\sqrt{t} \}}\) dla
\(\displaystyle{ t \ge 0}\) i
\(\displaystyle{ A_t = \varnothing}\) dla
\(\displaystyle{ t < 0}\).
2. Twoja definicja:
\(\displaystyle{ A_{t}=\left\{ t \in R: t=q-d\right\}}\)
ma też inną wadę. Powiedzmy, że wręczam Ci konkretną liczbę
\(\displaystyle{ t = \pi}\). Aby stwierdzić, czy ta liczba do Twojego zbioru przynależy, musiałbyś sprawdzić, czy zachodzi warunek
\(\displaystyle{ \pi = q -d}\). No i jak to zrobić? Nie da się, bo nie wiadomo, czym są
\(\displaystyle{ q}\) i
\(\displaystyle{ d}\).
Gdybyś natomiast napisał
\(\displaystyle{ A_{q, d} = \{ t \in \RR : t = q - d \}}\),
to już byłoby poprawnie, bo dla każdej pary liczb
\(\displaystyle{ q}\) i
\(\displaystyle{ d}\) mamy inny zbiór. Jeśli więc wybiorę parę liczb, np.
\(\displaystyle{ q = \frac{5}{12}}\) i
\(\displaystyle{ d = 7}\), a następnie wręczę Ci liczbę
\(\displaystyle{ t = \pi}\) i zapytam, czy
\(\displaystyle{ t \in A_{q, d}}\), to będziesz w stanie odpowiedzieć: musisz sprawdzić, czy zachodzi warunek
\(\displaystyle{ \pi = \frac{5}{12} - 7}\).
Pisząc
\(\displaystyle{ A_{q, d}}\) deklarujesz więc, że definiujesz nie pojedynczy zbiór, a rodzinę zbiorów - po jednym dla każdej możliwej pary
\(\displaystyle{ q, d}\) - i tylko wtedy możesz warunek na przynależność do zbioru (czyli
\(\displaystyle{ t = q - d}\)) od tych liczb uzależnić. W przeciwnym razie mógłbyś napisać najwyżej
\(\displaystyle{ A = \{ t \in \RR : t = \frac{5}{12} - 7 \}}\),
ale nie wolno byłoby Ci użyć liter
\(\displaystyle{ q}\) i
\(\displaystyle{ d}\) (ani żadnej innej, która nie została wprowadzona).
3. Ostatnia uwaga chyba jest jasna: nie możesz zdefiniować zbioru
\(\displaystyle{ A = \{ 3, 7 \}}\)
a linijkę niżej napisać
\(\displaystyle{ A = \{ 4, 8 \}}\),
bo ta druga linijka nie jest prawdziwa w obliczu pierwszej. U Ciebie jest podobnie: najpierw definiujesz
\(\displaystyle{ A = \{ t \in \RR : t = q - d \}}\),
a następnie stwierdzasz, że
\(\displaystyle{ A = \{ t \in \RR : t \in \QQ - d \}}\)
co jest sprzeczne z definicją, bo według definicji zbiór
\(\displaystyle{ A}\) składa się z pojedynczej liczby
\(\displaystyle{ q - d}\) (w domyśle: dla pewnych konkretnych, ustalonych liczb
\(\displaystyle{ q}\) i
\(\displaystyle{ d}\)), natomiast drugi zapis stwierdza, że
\(\displaystyle{ A}\) składa się z liczb, które dają się zapisać w postaci
\(\displaystyle{ t = q' - d}\) dla pewnej liczby wymiernej
\(\displaystyle{ q'}\), a więc - że do tego zbioru należą przynajmniej trzy różne liczby
\(\displaystyle{ 0 - d}\),
\(\displaystyle{ 2 - d}\) i
\(\displaystyle{ \frac{5}{12} - d}\), i oczywiście o wiele więcej.
Radzę więc, abyś podejmując kolejną próbę napisania rozwiązania, opisywał zbiory słowami i obok zapisywał je symbolicznie - jak dotychczas. W ten sposób będzie wiadomo, co masz na myśli, i jednocześnie będzie można poprawić ewentualne błędy w zapisie, jeśli opis symboliczny będzie sprzeczny z opisem słownym lub gdy będzie niepoprawny.
P.S.
Elek112 pisze:Zbiór \(\displaystyle{ A}\) to są takie \(\displaystyle{ t}\) należące do rzeczywistych, że istnieje \(\displaystyle{ d}\) należące do \(\displaystyle{ D}\) i istnieje \(\displaystyle{ q}\) należące do \(\displaystyle{ Q}\) takie, że \(\displaystyle{ t= q-d}\)
Ten opis słowny jest całkowicie poprawny (i przy okazji, idący w dobrym kierunku), a jego symboliczny odpowiednik to
\(\displaystyle{ A = \{ t \in \RR : (\exists d \in D)(\exists q \in \QQ) \, t = q - d \}}\)
lub równoważnie
\(\displaystyle{ A = \bigcup_{d \in D} \bigcup_{q \in \QQ} \{ t \in \RR : t = q - d \} = \bigcup_{d \in D} \bigcup_{q \in \QQ} \{ q - d \}.}\)