Tw. Baire'a

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Elek112
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 159
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 09:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 28 razy

Tw. Baire'a

Post autor: Elek112 » 18 lut 2019, o 01:34

Witam, nie mogę sobie poradzić (w ogóle nie potrafie zacząć) poniższego zadania:

Dla każdej liczby \(\displaystyle{ n\in\ZZ}\) niech \(\displaystyle{ C_{n}}\) będzie zbiorem domkniętym i brzegowym zawartym w \(\displaystyle{ [n,n+1]}\). Niech \(\displaystyle{ D = \bigcup_{n\in\ZZ} C_{n}}\). Udowodnić, że istnieje liczba \(\displaystyle{ t \in \RR}\) taka, że \(\displaystyle{ t+D \subset \RR \setminus \QQ.}\)
Ostatnio zmieniony 18 lut 2019, o 10:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a.

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1536
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 436 razy

Tw. Baire'a

Post autor: timon92 » 18 lut 2019, o 04:13

spróbuj nie wprost: dla każdego \(\displaystyle{ t \in \mathbb R}\) istniałyby wtedy \(\displaystyle{ d \in D}\) i \(\displaystyle{ q \in \mathbb Q}\) takie, że \(\displaystyle{ t+d=q}\), czyli \(\displaystyle{ t=q-d}\); w szczególności \(\displaystyle{ t \in \mathbb Q - D}\)

Elek112
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 159
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 09:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 28 razy

Tw. Baire'a

Post autor: Elek112 » 18 lut 2019, o 12:03

\(\displaystyle{ A = \left\{ t \in \RR: \bigwedge\limits_{d\in D} \bigwedge\limits_{q\in \QQ}, t=q-d\right\}}\)

\(\displaystyle{ A= \bigcup_{q}^{} \bigcup_{d}^{} \left\{ t \in \RR: t=q-d\right\}}\)

\(\displaystyle{ A_{t} = \left\{ t \in \RR: t=q-d\right\}}\)

\(\displaystyle{ A_{t} = \left\{ t \in \RR: t \in q-D\right\}}\)

\(\displaystyle{ D}\) jest domknięty brzegowy zatem dodając do każdego elementu \(\displaystyle{ q}\) otrzymamy ten zbiór tylko przesunięty i nadal pozostanie domkniety brzegowy

\(\displaystyle{ A_{t}}\) domkniety brzegowy \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ A}\) domkniety brzegowy (Tw.bairea)

\(\displaystyle{ (A)' = \left\{ t \in \RR: \bigvee\limits_{d\in D} \bigvee\limits_{q\in \QQ}, t\neq q-d\right\}}\) jako dopełnienie zbioru \(\displaystyle{ A}\) będzie zbiorem otwartym gęstym, a zatem istnieje takie \(\displaystyle{ t}\)

Czy to jest dobrze zrobione?
Ostatnio zmieniony 18 lut 2019, o 15:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1536
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 436 razy

Re: Tw. Baire'a

Post autor: timon92 » 18 lut 2019, o 13:38

zupełnie nie wiadomo o co chodzi, definicja zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest niejasna i nie potrafię się domyślić jaki był Twój zamysł

Elek112
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 159
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 09:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 28 razy

Tw. Baire'a

Post autor: Elek112 » 18 lut 2019, o 13:47

Zbiór \(\displaystyle{ A}\) to są takie \(\displaystyle{ t}\) należące do rzeczywistych, że istnieje \(\displaystyle{ d}\) należące do \(\displaystyle{ D}\) i istnieje \(\displaystyle{ q}\) należące do \(\displaystyle{ Q}\) takie, że \(\displaystyle{ t= q-d}\)

Edit: już poprawiłem zapis

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26916
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4500 razy

Tw. Baire'a

Post autor: Jan Kraszewski » 18 lut 2019, o 15:14

Cokolwiek chciałeś zapisać (a pisząc zapomniałeś o zasadzie "Więcej słów, mniej znaczków"), to te zapisy
Elek112 pisze:\(\displaystyle{ A_{t} = \left\{ t \in \RR: t=q-d\right\}}\)

\(\displaystyle{ A_{t} = \left\{ t \in \RR: t \in q-D\right\}}\)
są do niczego. W obu \(\displaystyle{ t}\) jest równocześnie zmienną wolną i związaną (a ponadto występują zmienne wolne \(\displaystyle{ q,d}\), co nie zostało uwzględnione w nazewnictwie), ponadto oba deklarują opis tego samego zbioru \(\displaystyle{ A_t}\) na dwa różne, nierównoważne sposoby.

JK

Elek112
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 159
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 09:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 28 razy

Tw. Baire'a

Post autor: Elek112 » 18 lut 2019, o 21:49

czy jak zapisze
\(\displaystyle{ A_{t}=\left\{ t \in \RR: t=q-d\right\} \\ A_{t}=\left\{ t \in \RR: t \in \QQ-D\right\}}\)

to będzie poprawnie?
Czy może mam jeden z nich w ogóle wyrzucić?

i czy ogólnie mój tok rozumowania jest choćby w jakimś stopniu poprawny?
Ostatnio zmieniony 18 lut 2019, o 22:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26916
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4500 razy

Tw. Baire'a

Post autor: Jan Kraszewski » 18 lut 2019, o 22:15

Elek112 pisze:czy jak zapisze
\(\displaystyle{ A_{t}=\left\{ t \in \RR: t=q-d\right\} \\ A_{t}=\left\{ t \in \RR: t \in \QQ-D\right\}}\)

to będzie poprawnie?
Oba te zapisy są nadal niepoprawne. W zapisie

\(\displaystyle{ A_{\red t\black}=\left\{ \blue t\black \in \RR: t=q-d\right\}}\)

czerwona literka \(\displaystyle{ \red t}\) jest zmienną wolną, niebieska literka \(\displaystyle{ \blue t}\) - zmienną związaną, czarna literka \(\displaystyle{ t}\) - nie wiadomo, choć pewnie związaną no i do tego nieokreślone literki \(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ d}\).

Jeśli chodzi o wcześniejsze zapisy, to też niedobrze, bo tutaj

\(\displaystyle{ A = \left\{ t \in \RR: \bigwedge\limits_{d\in D} \bigwedge\limits_{q\in \QQ}, t=q-d\right\}}\)

masz kwantyfikatory ogólne, które z nieznanych przyczyn zamieniają się w sumy:

\(\displaystyle{ A= \bigcup_{q}^{} \bigcup_{d}^{} \left\{ t \in \RR: t=q-d\right\}.}\)

I to cały czas jest analiza formalna, a nie merytoryczna.

No i nie bardzo wiadomo, po co Ci te wszystkie znaczki. timon92 napisał Ci szkic dowodu, a Ty zamiast go rozwinąć (używając zdań w języku polskim) zacząłeś produkować listę znaczków.

JK

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9328
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2040 razy

Tw. Baire'a

Post autor: Dasio11 » 18 lut 2019, o 22:36

Jan Kraszewski pisze:W obu \(\displaystyle{ t}\) jest równocześnie zmienną wolną i związaną (a ponadto występują zmienne wolne \(\displaystyle{ q,d}\), co nie zostało uwzględnione w nazewnictwie), ponadto oba deklarują opis tego samego zbioru \(\displaystyle{ A_t}\) na dwa różne, nierównoważne sposoby.
Elek112 pisze:czy jak zapisze
\(\displaystyle{ A_{t}=\left\{ t \in R: t=q-d\right\}}\)
\(\displaystyle{ A_{t}=\left\{ t \in R: t \in Q-D\right\}}\)

to będzie poprawnie?
Wszystkie uwagi podane przez Jana Kraszewskiego w takim samym stopniu dotyczą Twojej nowej propozycji, także następnym razem postaraj się te uwagi uwzględnić. Żeby Ci to ułatwić, omawiam je poniżej.

1. Zapis \(\displaystyle{ \{ t \in \RR : t = q - d \}}\) oznacza ni mniej, nie więcej, tylko: zbiór takich liczb rzeczywistych, które równają się \(\displaystyle{ q-d}\). Nawiasem mówiąc, taka liczba rzeczywista jest dokładnie jedna i równa \(\displaystyle{ q-d}\), zatem ten zbiór jest jednoelementowy, ale chcę przekazać coś innego. Literka \(\displaystyle{ t}\) jest tu użyta jako oznaczenie dowolnej liczby rzeczywistej, aby następnie można było napisać warunek decydujący, czy owa liczba do zbioru ma należeć, czy też nie - tym warunkiem jest \(\displaystyle{ t = q - d}\). A więc ten zbiór można inaczej opisać jako zbiór takich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ t}\), że zachodzi równość \(\displaystyle{ t = q - d}\).

Z kolei zapis \(\displaystyle{ A_t = \{ \ldots \}}\) oznacza, że definiujesz nie pojedynczy zbiór, ale całą rodzinę zbiorów, indeksowaną liczbami rzeczywistymi. Jest to więc skrót oznaczający, że jednocześnie definiujemy \(\displaystyle{ A_1, A_{-4}}\) a także \(\displaystyle{ A_{\sqrt{2}}}\) i \(\displaystyle{ A_{\pi}}\), no i ogólnie \(\displaystyle{ A_t}\) dla każdej innej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ t}\). Przykładowo można by napisać \(\displaystyle{ A_t = \{ t-1, t+1 \}}\) i wtedy w szczególności \(\displaystyle{ A_1 = \{ 0, 2 \}}\), \(\displaystyle{ A_{-4} = \{ -5, -3 \}}\) i \(\displaystyle{ A_{\pi} = \{ \pi - 1, \pi + 1 \}}\).

Teraz: gdybyś napisał \(\displaystyle{ A_{\textcolor{red}{t}} = \{ \textcolor{blue}{t} \in \RR : t^2 = t \}}\), to nie wiadomo, czy \(\displaystyle{ t}\) w warunku \(\displaystyle{ t^2 = t}\) ma oznaczać tę liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ \textcolor{blue}{t}}\), której przynależność do powyższego zbioru badamy, czy też liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ \textcolor{red}{t}}\), od której uzależniliśmy naszą definicję. Z tego powodu jest to zapis bardzo nieelegancki i nieprzejrzysty (choć z pewnych formalnych względów poprawny).

Natomiast gdybyś napisał \(\displaystyle{ A_t = \{ s \in \RR : s^2 = t \}}\), to byłoby poprawnie i wtedy \(\displaystyle{ A_t = \{ \sqrt{t}, -\sqrt{t} \}}\) dla \(\displaystyle{ t \ge 0}\) i \(\displaystyle{ A_t = \varnothing}\) dla \(\displaystyle{ t < 0}\).

2. Twoja definicja:

\(\displaystyle{ A_{t}=\left\{ t \in R: t=q-d\right\}}\)

ma też inną wadę. Powiedzmy, że wręczam Ci konkretną liczbę \(\displaystyle{ t = \pi}\). Aby stwierdzić, czy ta liczba do Twojego zbioru przynależy, musiałbyś sprawdzić, czy zachodzi warunek \(\displaystyle{ \pi = q -d}\). No i jak to zrobić? Nie da się, bo nie wiadomo, czym są \(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ d}\).

Gdybyś natomiast napisał

\(\displaystyle{ A_{q, d} = \{ t \in \RR : t = q - d \}}\),

to już byłoby poprawnie, bo dla każdej pary liczb \(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ d}\) mamy inny zbiór. Jeśli więc wybiorę parę liczb, np. \(\displaystyle{ q = \frac{5}{12}}\) i \(\displaystyle{ d = 7}\), a następnie wręczę Ci liczbę \(\displaystyle{ t = \pi}\) i zapytam, czy \(\displaystyle{ t \in A_{q, d}}\), to będziesz w stanie odpowiedzieć: musisz sprawdzić, czy zachodzi warunek \(\displaystyle{ \pi = \frac{5}{12} - 7}\).

Pisząc \(\displaystyle{ A_{q, d}}\) deklarujesz więc, że definiujesz nie pojedynczy zbiór, a rodzinę zbiorów - po jednym dla każdej możliwej pary \(\displaystyle{ q, d}\) - i tylko wtedy możesz warunek na przynależność do zbioru (czyli \(\displaystyle{ t = q - d}\)) od tych liczb uzależnić. W przeciwnym razie mógłbyś napisać najwyżej

\(\displaystyle{ A = \{ t \in \RR : t = \frac{5}{12} - 7 \}}\),

ale nie wolno byłoby Ci użyć liter \(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ d}\) (ani żadnej innej, która nie została wprowadzona).

3. Ostatnia uwaga chyba jest jasna: nie możesz zdefiniować zbioru

\(\displaystyle{ A = \{ 3, 7 \}}\)

a linijkę niżej napisać

\(\displaystyle{ A = \{ 4, 8 \}}\),

bo ta druga linijka nie jest prawdziwa w obliczu pierwszej. U Ciebie jest podobnie: najpierw definiujesz

\(\displaystyle{ A = \{ t \in \RR : t = q - d \}}\),

a następnie stwierdzasz, że

\(\displaystyle{ A = \{ t \in \RR : t \in \QQ - d \}}\)

co jest sprzeczne z definicją, bo według definicji zbiór \(\displaystyle{ A}\) składa się z pojedynczej liczby \(\displaystyle{ q - d}\) (w domyśle: dla pewnych konkretnych, ustalonych liczb \(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ d}\)), natomiast drugi zapis stwierdza, że \(\displaystyle{ A}\) składa się z liczb, które dają się zapisać w postaci \(\displaystyle{ t = q' - d}\) dla pewnej liczby wymiernej \(\displaystyle{ q'}\), a więc - że do tego zbioru należą przynajmniej trzy różne liczby \(\displaystyle{ 0 - d}\), \(\displaystyle{ 2 - d}\) i \(\displaystyle{ \frac{5}{12} - d}\), i oczywiście o wiele więcej.


Radzę więc, abyś podejmując kolejną próbę napisania rozwiązania, opisywał zbiory słowami i obok zapisywał je symbolicznie - jak dotychczas. W ten sposób będzie wiadomo, co masz na myśli, i jednocześnie będzie można poprawić ewentualne błędy w zapisie, jeśli opis symboliczny będzie sprzeczny z opisem słownym lub gdy będzie niepoprawny.


P.S.
Elek112 pisze:Zbiór \(\displaystyle{ A}\) to są takie \(\displaystyle{ t}\) należące do rzeczywistych, że istnieje \(\displaystyle{ d}\) należące do \(\displaystyle{ D}\) i istnieje \(\displaystyle{ q}\) należące do \(\displaystyle{ Q}\) takie, że \(\displaystyle{ t= q-d}\)
Ten opis słowny jest całkowicie poprawny (i przy okazji, idący w dobrym kierunku), a jego symboliczny odpowiednik to

\(\displaystyle{ A = \{ t \in \RR : (\exists d \in D)(\exists q \in \QQ) \, t = q - d \}}\)

lub równoważnie

\(\displaystyle{ A = \bigcup_{d \in D} \bigcup_{q \in \QQ} \{ t \in \RR : t = q - d \} = \bigcup_{d \in D} \bigcup_{q \in \QQ} \{ q - d \}.}\)

ODPOWIEDZ