Konkretnie czy zbiór \(\displaystyle{ A = \left\{ x>0 : \sin \frac{1}{x}=0 \right\}}\) jest zbiorem domkniętym w \(\displaystyle{ \RR}\).
Jak zabrać się za takie zadanie? Wiem, że można do tego podejść przez sprawdzenie, czy zbiór \(\displaystyle{ \RR\setminus A}\) jest otwarty (logika podpowiada mi, że tak), ale nie wiem jak poprzeć to matematycznie poprawnym uzasadnieniem.
Zbiór domknięty
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 9 maja 2016, o 21:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 2 razy
Zbiór domknięty
Ostatnio zmieniony 30 sty 2019, o 16:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Zbiór domknięty
A czy granica ciągu \(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n\pi}, n\ge 1}\), którego wyrazy są z \(\displaystyle{ A}\), należy do \(\displaystyle{ A}\)?
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 9 maja 2016, o 21:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 2 razy
Re: Zbiór domknięty
Właśnie nie należy, granicą jest \(\displaystyle{ 0}\), jednak nie rozumiem, dlaczego wobec tego prawdą jest, że zbiór \(\displaystyle{ \RR \setminus A}\) jest zbiorem domkniętym.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Zbiór domknięty
Ale wynika z tego, że \(\displaystyle{ \RR \setminus A}\) nie jest otwarty (z definicji otwartości dla punktu \(\displaystyle{ 0}\)).