Zbiór domknięty

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
DuDiiC
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 9 maja 2016, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 2 razy

Zbiór domknięty

Post autor: DuDiiC » 30 sty 2019, o 10:06

Konkretnie czy zbiór \(\displaystyle{ A = \left\{ x>0 : \sin \frac{1}{x}=0 \right\}}\) jest zbiorem domkniętym w \(\displaystyle{ \RR}\).
Jak zabrać się za takie zadanie? Wiem, że można do tego podejść przez sprawdzenie, czy zbiór \(\displaystyle{ \RR\setminus A}\) jest otwarty (logika podpowiada mi, że tak), ale nie wiem jak poprzeć to matematycznie poprawnym uzasadnieniem.
Ostatnio zmieniony 30 sty 2019, o 16:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26932
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4503 razy

Re: Zbiór domknięty

Post autor: Jan Kraszewski » 30 sty 2019, o 16:06

A czy granica ciągu \(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n\pi}, n\ge 1}\), którego wyrazy są z \(\displaystyle{ A}\), należy do \(\displaystyle{ A}\)?

JK

DuDiiC
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 9 maja 2016, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 2 razy

Re: Zbiór domknięty

Post autor: DuDiiC » 30 sty 2019, o 16:51

Właśnie nie należy, granicą jest \(\displaystyle{ 0}\), jednak nie rozumiem, dlaczego wobec tego prawdą jest, że zbiór \(\displaystyle{ \RR \setminus A}\) jest zbiorem domkniętym.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18789
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3179 razy

Re: Zbiór domknięty

Post autor: a4karo » 30 sty 2019, o 17:51

\(\displaystyle{ \RR\setminus A}\) nie jest domknięty

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9329
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2041 razy

Re: Zbiór domknięty

Post autor: Dasio11 » 30 sty 2019, o 19:50

Ale wynika z tego, że \(\displaystyle{ \RR \setminus A}\) nie jest otwarty (z definicji otwartości dla punktu \(\displaystyle{ 0}\)).

ODPOWIEDZ