Tw. Baire'a
: 29 sty 2019, o 00:40
Witam, mam problem z dobrym, formalnym uzasadnieniem w dwoch zadaniach
1)\(\displaystyle{ A }}\) - domkniety, brzegowy, podzbior prostej euklidesowej
pokazac, ze \(\displaystyle{ B=\left\{ t \in \RR: \bigvee_{q \in \QQ^*}\bigvee_{s \in A} s-qt \neq 0\right\}}\)
(\(\displaystyle{ \QQ^*}\) liczby wymierne ale bez zera)
wyjalem kwantyfikatory jako przeliczalne przeciecia po \(\displaystyle{ q}\) i po \(\displaystyle{ s}\)
i problem lezy w udowodnieniu, ze \(\displaystyle{ B _{t}= \left\{ t \in \RR: s-qt \neq 0\right\}}\) jest zbiorem otwartym, gestym
probowalem jakos tak to rozpisywac
\(\displaystyle{ (B _{t})' = \left\{ t \in \RR: s-qt = 0\right\}}\)
\(\displaystyle{ t= \frac{s}{q}}\) ale brakuje mi argumentu za tym, ze \(\displaystyle{ (B _{t})'}\) jest domkniety i brzegowy, wtedy jego dopelnienie bedzie otwarte, geste i koniec zadania.
edit: myslalem jeszcze czy nie podejsc do tego tak:
\(\displaystyle{ (B _{t}) = \left\{ t \in \RR: s \neq qt \right\} \Rightarrow \left\{ t \in \RR: qt \not\in A \right\}\Rightarrow \left\{ t \in \RR: t \not\in \frac{A}{q} \right\}}\)
czy to nie jest tak, ze dzielenie wszystkich elementow z \(\displaystyle{ A}\) przez \(\displaystyle{ q}\) zmieni jedynie odleglosci miedzy punktami na prostej euklidesowej, zatem \(\displaystyle{ \frac{A}{q}}\) jest nadal domkniety i brzegowy czyli \(\displaystyle{ (B _{t})'}\) domkniety i brzegowy \(\displaystyle{ \Rightarrow (B _{t})}\) jako dopelnienie tego zbioru jest otwarty i gesty
1)\(\displaystyle{ A }}\) - domkniety, brzegowy, podzbior prostej euklidesowej
pokazac, ze \(\displaystyle{ B=\left\{ t \in \RR: \bigvee_{q \in \QQ^*}\bigvee_{s \in A} s-qt \neq 0\right\}}\)
(\(\displaystyle{ \QQ^*}\) liczby wymierne ale bez zera)
wyjalem kwantyfikatory jako przeliczalne przeciecia po \(\displaystyle{ q}\) i po \(\displaystyle{ s}\)
i problem lezy w udowodnieniu, ze \(\displaystyle{ B _{t}= \left\{ t \in \RR: s-qt \neq 0\right\}}\) jest zbiorem otwartym, gestym
probowalem jakos tak to rozpisywac
\(\displaystyle{ (B _{t})' = \left\{ t \in \RR: s-qt = 0\right\}}\)
\(\displaystyle{ t= \frac{s}{q}}\) ale brakuje mi argumentu za tym, ze \(\displaystyle{ (B _{t})'}\) jest domkniety i brzegowy, wtedy jego dopelnienie bedzie otwarte, geste i koniec zadania.
edit: myslalem jeszcze czy nie podejsc do tego tak:
\(\displaystyle{ (B _{t}) = \left\{ t \in \RR: s \neq qt \right\} \Rightarrow \left\{ t \in \RR: qt \not\in A \right\}\Rightarrow \left\{ t \in \RR: t \not\in \frac{A}{q} \right\}}\)
czy to nie jest tak, ze dzielenie wszystkich elementow z \(\displaystyle{ A}\) przez \(\displaystyle{ q}\) zmieni jedynie odleglosci miedzy punktami na prostej euklidesowej, zatem \(\displaystyle{ \frac{A}{q}}\) jest nadal domkniety i brzegowy czyli \(\displaystyle{ (B _{t})'}\) domkniety i brzegowy \(\displaystyle{ \Rightarrow (B _{t})}\) jako dopelnienie tego zbioru jest otwarty i gesty