Granica produktów

[Ollaxd52]

Wykorzystując, że:

\(\displaystyle{ \prod_{i \in \NN} X_i}\) jest produktem przestrzeni metrycznych \(\displaystyle{ ( X_{i}, d_{i} )}\). Wówczas dla dowolnych \(\displaystyle{ x=(x_{i})_{i \in \NN}}\) i \(\displaystyle{ y= (y_{i})_{i \in \NN}}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ \sup d ( x_{i}, y_{i} ) \le d( x_{i}, y_{i}) \le \sqrt{m} \cdot \max \{ d_{i}( x_{i} , y_{i} )\}+\sqrt{ \sum_{i \in \NN} d[( x_{i}, y_{i}) ]^2}.}\)

Wykaż, że: dla ciągu \(\displaystyle{ x_{n}}\) elementów przestrzeni \(\displaystyle{ \prod X_{i}}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ x= \lim_{ x\to \infty } x_{n} \Leftrightarrow \bigvee_{ j \in \NN} k_j(x)=\lim_{ x\to \infty } [k_{j}(x _{n})],}\)

gdzie \(\displaystyle{ k_{j} : \prod X_{i} \rightarrow X_{j}}\) jest klasycznym rzutowaniem.