Punkt stały
-
Ollaxd52
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 27 sty 2019, o 15:11
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 1 raz
Punkt stały
Niech \(\displaystyle{ (X,d)}\) będzie przestrzenią zupełną i \(\displaystyle{ f: X \rightarrow X}\) funkcją ciągłą i taką, że \(\displaystyle{ d(fx,fy)<d(x,y)}\). Czy \(\displaystyle{ f}\) ma punkt stały? Odpowiedź uzasadnij.
Ostatnio zmieniony 27 sty 2019, o 23:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
Speed094
- Użytkownik
- Posty: 157
- Rejestracja: 11 paź 2014, o 13:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warsaw
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1 raz
Punkt stały
Rozpatrz funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\ln (e^{x}+1) , X=\RR.}\)
Ostatnio zmieniony 27 sty 2019, o 23:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Re: Punkt stały
\(\displaystyle{ f(x)=\ln (e^{x}+1) , X=\RR.}\)
Trzeba pokazać, że nie ma ona punktu stałego.
Oraz BSO \(\displaystyle{ x>y}\)
1. Pokazujemy, że \(\displaystyle{ (\ln (e^{x}+1) - \ln (e^{y}+1)) < x- y}\) (sprawdzamy, że faktycznie to spełnia równość )
2. Załóżmy niewprost, że funkcja ma punkt stały.
Wobec czego \(\displaystyle{ f(x)=\ln (e^{x}+1)=x}\)
Dalej \(\displaystyle{ e^{x}+1 = e^{x}}\)
\(\displaystyle{ 1 = 0}\)
Uzyskujemy sprzeczność.
Trzeba pokazać, że nie ma ona punktu stałego.
Oraz BSO \(\displaystyle{ x>y}\)
1. Pokazujemy, że \(\displaystyle{ (\ln (e^{x}+1) - \ln (e^{y}+1)) < x- y}\) (sprawdzamy, że faktycznie to spełnia równość )
2. Załóżmy niewprost, że funkcja ma punkt stały.
Wobec czego \(\displaystyle{ f(x)=\ln (e^{x}+1)=x}\)
Dalej \(\displaystyle{ e^{x}+1 = e^{x}}\)
\(\displaystyle{ 1 = 0}\)
Uzyskujemy sprzeczność.
