Punkt stały

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Ollaxd52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 27 sty 2019, o 15:11
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 1 raz

Punkt stały

Post autor: Ollaxd52 » 27 sty 2019, o 20:58

Niech \(\displaystyle{ (X,d)}\) będzie przestrzenią zupełną i \(\displaystyle{ f: X \rightarrow X}\) funkcją ciągłą i taką, że \(\displaystyle{ d(fx,fy)<d(x,y)}\). Czy \(\displaystyle{ f}\) ma punkt stały? Odpowiedź uzasadnij.
Ostatnio zmieniony 27 sty 2019, o 23:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

Speed094
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 157
Rejestracja: 11 paź 2014, o 13:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warsaw
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1 raz

Punkt stały

Post autor: Speed094 » 27 sty 2019, o 21:36

Rozpatrz funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\ln (e^{x}+1) , X=\RR.}\)
Ostatnio zmieniony 27 sty 2019, o 23:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

inf1n1ty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 4 lip 2016, o 22:33
Płeć: Mężczyzna

Re: Punkt stały

Post autor: inf1n1ty » 5 lut 2019, o 23:22

\(\displaystyle{ f(x)=\ln (e^{x}+1) , X=\RR.}\)
Trzeba pokazać, że nie ma ona punktu stałego.
Oraz BSO \(\displaystyle{ x>y}\)
1. Pokazujemy, że \(\displaystyle{ (\ln (e^{x}+1) - \ln (e^{y}+1)) < x- y}\) (sprawdzamy, że faktycznie to spełnia równość )
2. Załóżmy niewprost, że funkcja ma punkt stały.
Wobec czego \(\displaystyle{ f(x)=\ln (e^{x}+1)=x}\)
Dalej \(\displaystyle{ e^{x}+1 = e^{x}}\)
\(\displaystyle{ 1 = 0}\)
Uzyskujemy sprzeczność.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18789
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3179 razy

Re: Punkt stały

Post autor: a4karo » 6 lut 2019, o 00:06

No i jeszcze trzeba pokazać, że jest zwężające.

ODPOWIEDZ