Przestrzenie ośrodkowe
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 27 sty 2019, o 15:11
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 1 raz
Przestrzenie ośrodkowe
Wykaż, że przeliczalny produkt przestrzeni ośrodkowych jest przestrzenią ośrodkową
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Przestrzenie ośrodkowe
Niech \(\displaystyle{ X = \prod_{n \in \NN} X_n}\), gdzie \(\displaystyle{ X_n}\) są ośrodkowe. Jeśli \(\displaystyle{ X = \varnothing}\), to zadanie jest trywialne, więc załóżmy, że \(\displaystyle{ X \neq \varnothing}\), i weźmy \(\displaystyle{ x \in X}\). Dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) ustalmy ośrodek \(\displaystyle{ D_n \subseteq X_n}\). Dla każdego skończonego podzbioru \(\displaystyle{ I \subseteq \NN}\) niech
\(\displaystyle{ E_I = \bigcap_{i \in I} \{ y \in X : y(i) \in D_i \} \cap \bigcap_{j \in \NN \setminus I} \{ y \in X : y(j) = x(j) \}.}\)
Udowodnij, że zbiór \(\displaystyle{ E = \bigcup_{I \underset{\text{sk.}}{\subseteq} \NN} E_I}\) jest ośrodkiem w \(\displaystyle{ X}\).
\(\displaystyle{ E_I = \bigcap_{i \in I} \{ y \in X : y(i) \in D_i \} \cap \bigcap_{j \in \NN \setminus I} \{ y \in X : y(j) = x(j) \}.}\)
Udowodnij, że zbiór \(\displaystyle{ E = \bigcup_{I \underset{\text{sk.}}{\subseteq} \NN} E_I}\) jest ośrodkiem w \(\displaystyle{ X}\).