Przestrzenie ośrodkowe

[Ollaxd52]

Wykaż, że przeliczalny produkt przestrzeni ośrodkowych jest przestrzenią ośrodkową

[Dasio11]

Niech \(\displaystyle{ X = \prod_{n \in \NN} X_n}\), gdzie \(\displaystyle{ X_n}\) są ośrodkowe. Jeśli \(\displaystyle{ X = \varnothing}\), to zadanie jest trywialne, więc załóżmy, że \(\displaystyle{ X \neq \varnothing}\), i weźmy \(\displaystyle{ x \in X}\). Dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) ustalmy ośrodek \(\displaystyle{ D_n \subseteq X_n}\). Dla każdego skończonego podzbioru \(\displaystyle{ I \subseteq \NN}\) niech

\(\displaystyle{ E_I = \bigcap_{i \in I} \{ y \in X : y(i) \in D_i \} \cap \bigcap_{j \in \NN \setminus I} \{ y \in X : y(j) = x(j) \}.}\)

Udowodnij, że zbiór \(\displaystyle{ E = \bigcup_{I \underset{\text{sk.}}{\subseteq} \NN} E_I}\) jest ośrodkiem w \(\displaystyle{ X}\).