Dowolny produkt przestrzeni spójnych
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 27 sty 2019, o 15:11
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 1 raz
Dowolny produkt przestrzeni spójnych
Wykaż, że dowolny produkt przestrzeni spójnych jest przestrzenią spójną.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Dowolny produkt przestrzeni spójnych
Niech \(\displaystyle{ X = \prod_{i \in I} X_i}\), gdzie \(\displaystyle{ X_i}\) są spójne. Jeśli \(\displaystyle{ X = \varnothing}\), to zadanie jest trywialne, więc załóżmy, że \(\displaystyle{ X \neq \varnothing}\), i weźmy punkt \(\displaystyle{ x \in X}\).
Niech
\(\displaystyle{ F = \{ y \in X : y(i) = x(i) \text{ dla prawie wszystkich } i \in I \}.}\)
Udowodnij, że:
1. \(\displaystyle{ F}\) jest spójnym podzbiorem \(\displaystyle{ X}\);
2. \(\displaystyle{ \cl F = X}\);
a następnie skorzystaj z faktu, że domknięcie spójnego podzbioru dowolnej przestrzeni topologicznej jest spójne.
Niech
\(\displaystyle{ F = \{ y \in X : y(i) = x(i) \text{ dla prawie wszystkich } i \in I \}.}\)
Udowodnij, że:
1. \(\displaystyle{ F}\) jest spójnym podzbiorem \(\displaystyle{ X}\);
2. \(\displaystyle{ \cl F = X}\);
a następnie skorzystaj z faktu, że domknięcie spójnego podzbioru dowolnej przestrzeni topologicznej jest spójne.