Dowolny produkt przestrzeni spójnych

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Ollaxd52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 27 sty 2019, o 15:11
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 1 raz

Dowolny produkt przestrzeni spójnych

Post autor: Ollaxd52 » 27 sty 2019, o 15:55

Wykaż, że dowolny produkt przestrzeni spójnych jest przestrzenią spójną.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9329
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2041 razy

Re: Dowolny produkt przestrzeni spójnych

Post autor: Dasio11 » 27 sty 2019, o 20:30

Niech \(\displaystyle{ X = \prod_{i \in I} X_i}\), gdzie \(\displaystyle{ X_i}\) są spójne. Jeśli \(\displaystyle{ X = \varnothing}\), to zadanie jest trywialne, więc załóżmy, że \(\displaystyle{ X \neq \varnothing}\), i weźmy punkt \(\displaystyle{ x \in X}\).

Niech

\(\displaystyle{ F = \{ y \in X : y(i) = x(i) \text{ dla prawie wszystkich } i \in I \}.}\)

Udowodnij, że:

1. \(\displaystyle{ F}\) jest spójnym podzbiorem \(\displaystyle{ X}\);
2. \(\displaystyle{ \cl F = X}\);

a następnie skorzystaj z faktu, że domknięcie spójnego podzbioru dowolnej przestrzeni topologicznej jest spójne.

ODPOWIEDZ