Odwzorowanie indukowane

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Speed094
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 157
Rejestracja: 11 paź 2014, o 13:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warsaw
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1 raz

Odwzorowanie indukowane

Post autor: Speed094 » 21 sty 2019, o 17:26

Mamy odwzorowanie ciągłe \(\displaystyle{ f: S^{1} \rightarrow S^{1}}\) oraz odwzorowanie indukowane \(\displaystyle{ f_{*}:Z \rightarrow Z}\). Jest wzór, który mówi, że \(\displaystyle{ f_{*}(a)=d*a}\) gdzie d to stopień topologiczny f. Mam kilka pytań.
1. Gdy \(\displaystyle{ f(z)=z}\) to \(\displaystyle{ f_{*}(a)=a}\)
2.Jeśli \(\displaystyle{ f(z)=z^{2}}\), to \(\displaystyle{ f_{*}}\) jest homomorfizmem
3.Jeśli \(\displaystyle{ f(z)=-z}\), to \(\displaystyle{ f_{*}}\) jest izomorfizmem
4. Jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowe to \(\displaystyle{ f_{*}}\) też jest róznowartościowe

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Odwzorowanie indukowane

Post autor: leg14 » 21 sty 2019, o 18:14

rozumiem, że to odwzorowanie masz definiowane przez stopein topologiczny? Moglbys mnie skierowac do swojej definicji stopnia?

Speed094
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 157
Rejestracja: 11 paź 2014, o 13:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warsaw
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Odwzorowanie indukowane

Post autor: Speed094 » 21 sty 2019, o 18:34

Definicje, które mam podane w notatkach to:
\(\displaystyle{ f:M \rightarrow M}\) , wtedy \(\displaystyle{ f_{*}:H_n(M) \rightarrow H_n(M)}\), a stopień topologiczny to liczba całkowita, która określa liczbę nawinięć f na okrąg. W pytaniu moim rozpatruję \(\displaystyle{ H_1(S^{1})=Z}\)

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Odwzorowanie indukowane

Post autor: leg14 » 21 sty 2019, o 20:46

No dobrze to chyba widziałeś, że odwzorowanie "indukowane" jest homomorfizmem i dobrze zachowuje się ze względu na składanie przekształceń?

Speed094
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 157
Rejestracja: 11 paź 2014, o 13:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warsaw
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Odwzorowanie indukowane

Post autor: Speed094 » 27 sty 2019, o 21:25

leg14, to wiedziałem o tym. Czyli pierwsze trzy zdania są dla mnie prawidłowe ale co do 4 to nie jestem pewny bo jak mamy odwzorowanie indukowane w grupach homotopii to nie zawsze jak f jest różnowartościowe to indukowane jest różnowartościowe. A w homologiach to nie wiem jak jest. (np czwartym wziąć np. odwzorowanie f "1-1" takie żeby miało stopień zero i wtedy indukowane nie jest "1-1'

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Odwzorowanie indukowane

Post autor: leg14 » 27 sty 2019, o 22:05

A czy w przypadku okręgu znajdziesz przekształcenie różnowartościowe, które nie jest homeomorfizmem?

inf1n1ty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 4 lip 2016, o 22:33
Płeć: Mężczyzna

Re: Odwzorowanie indukowane

Post autor: inf1n1ty » 5 lut 2019, o 22:49

Podpunkt 1 jest prawdziwy,
Bo \(\displaystyle{ f(z)=z}\), to jest jednokrotne nawinięcie, wiec degf = 1 = d
Podpunkt 2 nie jest prawdziwy,
\(\displaystyle{ f(z)=z^{2}}\)to 2 krotne nawinięcie,
trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ f_{*}(a)=2*a}\) nie jest homomorfizmem,
\(\displaystyle{ f_{*}(a*b)=2*(a*b) != f_{*}(a)*f_{*}(b)}\)

ODPOWIEDZ