Warunek Lipschitza

[Arlan]

Czy dla funkcji, która spełnia warunek Lipschitza stała Lipschitza zawsze istnieje? Bardzo bym prosił o jakieś krótkie uzasadnienie

[Janusz Tracz]

No tak to wynika z definicji. Funkcja spełnia warunek Lipschitza jeśli istnieje taka stała \(\displaystyle{ L}\) że dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left| f(x)-f(y)\right| \le L\left| x-y\right|}\). Jeśli taka stała nie istnieje to warunek Lipschitza nie jest spełniony.

[Arlan]

Tak ale w swoim pytaniu chodziło mi o stałą Lipschitza czyli najmniejszą liczbę L dla której ta nierówność zachodzi. Ponieważ samo istnienie tej stałej chyba nie implikuje istnienie najmniejszej takiej możliwej stałej.

[matmatmm]

Taka najmniejsza możliwa stała zawsze istnieje o ile w definicji warunku Lipschitza żądamy, żeby \(\displaystyle{ L\ge 0}\). W przeciwnym razie w skrajnym przypadku jeśli dziedzina \(\displaystyle{ f}\) ma co najwyżej jeden element, to funkcja będzie spełniać warunek Lipschitza z dowolną stałą rzeczywistą (także ujemną).

Uzasadnienie:

Załóżmy, że \(\displaystyle{ f}\) spełnia warunek Lipschitza. Wówczas zbiór

\(\displaystyle{ left{ Lin[0,infty):igwedge_{x,yin mathrm{dom}f}|f(x)-f(y)|le L|x-y|
ight}}\)

jest niepusty i ograniczony z dołu (np. przez \(\displaystyle{ 0}\)). Ma on więc kres dolny i ten kres dolny jest właśnie stałą Lipschitza (należy jeszcze udowodnić, że ten kres dolny należy do tego zbioru).

[Arlan]

No właśnie główna trudność dla mnie polega na sprawdzeniu że kres dolny tak zdefiniowanego zbioru będzie należał do tego zbioru. Oczywiście widać że będzie on przedziałem, ale pytanie czy musi być to przedział domknięty?

[Dasio11]

Niech \(\displaystyle{ L_0}\) będzie infimum tego zbioru. Gdyby \(\displaystyle{ L_0}\) nie należał do tego zbioru, to istniałyby \(\displaystyle{ x, y \in \mathrm{dom} \, f}\), takie że \(\displaystyle{ |f(x) - f(y)| > L_0 | x-y |}\). Udowodnij, że wtedy istnieje takie \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\), że również \(\displaystyle{ |f(x) - f(y)| > (L_0 + \varepsilon) |x-y|}\), co jest sprzeczne z definicją \(\displaystyle{ L_0}\).

Inaczej:

\(\displaystyle{ { L in [0, infty) : (forall x, y in mathrm{dom} , f) , |f(x) - f(y)| le L |x-y| } = igcap_{substack{x, y in mathrm{dom} , f \ x
eq y}} left[ left| frac{f(x)-f(y)}{x-y}
ight|, infty
ight)}\)

a dowolny przekrój przedziałów domkniętych jest przedziałem domkniętym, jeśli jest niepusty.