Warunek Lipschitza

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Arlan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 24 sie 2016, o 23:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy

Warunek Lipschitza

Post autor: Arlan » 12 sty 2019, o 15:01

Czy dla funkcji, która spełnia warunek Lipschitza stała Lipschitza zawsze istnieje? Bardzo bym prosił o jakieś krótkie uzasadnienie

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2987
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 996 razy

Re: Warunek Lipschitza

Post autor: Janusz Tracz » 12 sty 2019, o 15:19

No tak to wynika z definicji. Funkcja spełnia warunek Lipschitza jeśli istnieje taka stała \(\displaystyle{ L}\) że dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left| f(x)-f(y)\right| \le L\left| x-y\right|}\). Jeśli taka stała nie istnieje to warunek Lipschitza nie jest spełniony.

Arlan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 24 sie 2016, o 23:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy

Re: Warunek Lipschitza

Post autor: Arlan » 12 sty 2019, o 15:27

Tak ale w swoim pytaniu chodziło mi o stałą Lipschitza czyli najmniejszą liczbę L dla której ta nierówność zachodzi. Ponieważ samo istnienie tej stałej chyba nie implikuje istnienie najmniejszej takiej możliwej stałej.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1991
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 291 razy

Re: Warunek Lipschitza

Post autor: matmatmm » 12 sty 2019, o 18:41

Taka najmniejsza możliwa stała zawsze istnieje o ile w definicji warunku Lipschitza żądamy, żeby \(\displaystyle{ L\ge 0}\). W przeciwnym razie w skrajnym przypadku jeśli dziedzina \(\displaystyle{ f}\) ma co najwyżej jeden element, to funkcja będzie spełniać warunek Lipschitza z dowolną stałą rzeczywistą (także ujemną).

Uzasadnienie:

Załóżmy, że \(\displaystyle{ f}\) spełnia warunek Lipschitza. Wówczas zbiór

\(\displaystyle{ left{ Lin[0,infty):igwedge_{x,yin mathrm{dom}f}|f(x)-f(y)|le L|x-y|
ight}}\)


jest niepusty i ograniczony z dołu (np. przez \(\displaystyle{ 0}\)). Ma on więc kres dolny i ten kres dolny jest właśnie stałą Lipschitza (należy jeszcze udowodnić, że ten kres dolny należy do tego zbioru).

Arlan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 24 sie 2016, o 23:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy

Re: Warunek Lipschitza

Post autor: Arlan » 13 sty 2019, o 12:28

No właśnie główna trudność dla mnie polega na sprawdzeniu że kres dolny tak zdefiniowanego zbioru będzie należał do tego zbioru. Oczywiście widać że będzie on przedziałem, ale pytanie czy musi być to przedział domknięty?

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9328
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2040 razy

Re: Warunek Lipschitza

Post autor: Dasio11 » 13 sty 2019, o 14:38

Niech \(\displaystyle{ L_0}\) będzie infimum tego zbioru. Gdyby \(\displaystyle{ L_0}\) nie należał do tego zbioru, to istniałyby \(\displaystyle{ x, y \in \mathrm{dom} \, f}\), takie że \(\displaystyle{ |f(x) - f(y)| > L_0 | x-y |}\). Udowodnij, że wtedy istnieje takie \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\), że również \(\displaystyle{ |f(x) - f(y)| > (L_0 + \varepsilon) |x-y|}\), co jest sprzeczne z definicją \(\displaystyle{ L_0}\).

Inaczej:

\(\displaystyle{ { L in [0, infty) : (forall x, y in mathrm{dom} , f) , |f(x) - f(y)| le L |x-y| } = igcap_{substack{x, y in mathrm{dom} , f \ x
eq y}} left[ left| frac{f(x)-f(y)}{x-y}
ight|, infty
ight)}\)


a dowolny przekrój przedziałów domkniętych jest przedziałem domkniętym, jeśli jest niepusty.

ODPOWIEDZ