Wykaż, że T jest topologią

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
marcinszh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 26 cze 2018, o 11:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

Wykaż, że T jest topologią

Post autor: marcinszh » 9 sty 2019, o 17:39

1. Wykaż, że rodzina \(\displaystyle{ T_{k}=\emptyset\cup \left\{ A\subset X:X\setminus A-\mbox{ zbiór skończony}\right\}}\) jest topologią na niepustym zbiorze \(\displaystyle{ X}\). Topologię tę nazywamy topologię skończoną.
2. Pokaż, że zbiór \(\displaystyle{ U\subset \RR^{n}}\) jest zbiorem otwartym wtedy i tylko wtedy gdy, \(\displaystyle{ \bigwedge_{x\in{U}} \bigvee_{r>0}B(x,r)\subset{U}}\) gdzie \(\displaystyle{ B(x,r)=\left\{ y\in\RR^{n}:d(x,y)<r\right\}.}\)
3.Podaj przykład dwóch topologii, które nie są porównywalne.
4. Podaj przykład zbioru \(\displaystyle{ X}\) i topologii \(\displaystyle{ T_{1},T_{2}}\) tak aby \(\displaystyle{ (X,T_{1}\cup{T_{2}})}\) nie było przestrzenią topologiczną.
5. Niech \(\displaystyle{ (X,T_{1}),(Y,T_{2})}\) będą dwoma przestrzeniami topologicznymi. Czy zawsze \(\displaystyle{ (X \times Y,T_{1}\times T_{2})}\) jest przestrzenią topologiczną?
Ostatnio zmieniony 9 sty 2019, o 18:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Wykaż, że T jest topologią

Post autor: leg14 » 9 sty 2019, o 18:04

Jakies proby wlasne?
Z czym masz problem konkretnie?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26932
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4503 razy

Wykaż, że T jest topologią

Post autor: Jan Kraszewski » 9 sty 2019, o 18:16

marcinszh pisze:1. Wykaż, że rodzina \(\displaystyle{ T_{k}=\emptyset\cup \left\{ A\subset X:X\setminus A-\mbox{ zbiór skończony}\right\}}\) jest topologią na niepustym zbiorze \(\displaystyle{ X}\). Topologię tę nazywamy topologię skończoną.
No tak zdefiniowana rodzina nie jest topologią, gdy zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest nieskończony, bo \(\displaystyle{ \emptyset\notin T_k}\)...

JK

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9329
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2041 razy

Wykaż, że T jest topologią

Post autor: Dasio11 » 10 sty 2019, o 22:25

marcinszh pisze:Czy zawsze \(\displaystyle{ (X \times Y,T_{1}\times T_{2})}\) jest przestrzenią topologiczną?
Standardowo rozumiane \(\displaystyle{ T_1 \times T_2}\) nawet nie jest rodziną podzbiorów \(\displaystyle{ X \times Y}\). Czy w tym zadaniu obowiązuje konwencja, że

\(\displaystyle{ T_1 \times T_2 = \{ U \times V : U \in T_1, V \in T_2 \}}\) ?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26932
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4503 razy

Wykaż, że T jest topologią

Post autor: Jan Kraszewski » 10 sty 2019, o 23:23

Jan Kraszewski pisze:
marcinszh pisze:1. Wykaż, że rodzina \(\displaystyle{ T_{k}=\emptyset\cup \left\{ A\subset X:X\setminus A-\mbox{ zbiór skończony}\right\}}\) jest topologią na niepustym zbiorze \(\displaystyle{ X}\). Topologię tę nazywamy topologię skończoną.
No tak zdefiniowana rodzina nie jest topologią, gdy zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest nieskończony, bo \(\displaystyle{ \emptyset\notin T_k}\)...
marcinszh, mam nadzieję, że zrozumiałeś, iż zapomniałeś o nawiasach klamrowych i powinno być

\(\displaystyle{ T_{k}=\left\{ \emptyset\right\} \cup \left\{ A\subset X:X\setminus A-\mbox{ zbiór skończony}\right\}.}\)

JK

ODPOWIEDZ