Przeliczalność rodziny podzbiorów

[Tupensep]

1.Wykazać, że w zwartej przestrzeni metrycznej rodzina podzbiorów
otwarto-domkniętych jest co najwyżej przeliczalna.

2. Wykazać, że każdy zbiór otwarty (liczby rzeczywiste) można przedstawić jako sumę co najwyżej przeliczalnej rodziny przedziałów domkniętych o rozłącznych wnętrzach.

Jak w ogóle rozumieć to "co najwyżej"? I proszę o jakieś wskazówki żeby to formalnie wszystko grało, nie wiem za bardzo jak zacząć

[Jan Kraszewski]

Jak w ogóle rozumieć to "co najwyżej"?

Co najwyżej przeliczalny, czyli mocy \(\displaystyle{ \le\aleph_0}\).

JK

[Dasio11]

2. Gdyby zamiast przedziałów domkniętych były otwarte, to potrafiłabyś?

[Tupensep]

2. Gdyby zamiast przedziałów domkniętych były otwarte, to potrafiłabyś?

W sensie zadanie drugie?
Może musiałabym posiedzieć dłużej nad zapisem, ale wydaje mi się że w każdym przedziale na liczbach rzeczywistych musi być liczba wymierna (z definicji przedziału, że jest zawarty między dwoma elementami?), a one jak wiadomo są przeliczalne.
Mowa jest tylko o rozłącznych wnętrzach a nie zbiorach (przedziałach), więc teoretycznie nie ma problemu ale co się dzieje na "krawędziach" tego zbioru otwartego to nwm
Wgl w tą stronę ma iść rozumowanie czy całkiem nie ta droga xd

[a4karo]

Dasio11 dał dobrą wskazówkę. Teraz pomyśl jak przedstawić odcinek otwarty jako przeliczalną sumę przedziałów domkniętych

[Dasio11]

Zarys dowodu będzie taki:

\(\displaystyle{ \bullet}\) pokazać, że każdy otwarty podzbiór \(\displaystyle{ U \subseteq \RR}\) jest sumą pewnej rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{I}}\) rozłącznych przedziałów otwartych;

\(\displaystyle{ \bullet}\) wykazać, że każda rodzina rozłącznych przedziałów otwartych (a więc ta z punktu wyżej także) jest co najwyżej przeliczalna;

\(\displaystyle{ \bullet}\) przedstawić dowolny przedział otwarty \(\displaystyle{ I \in \mathcal{I}}\) jako sumę rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{J}_I}\) przeliczalnie wielu przedziałów domkniętych o rozłącznych wnętrzach (czyli rozłącznych lub mających wspólny koniec);

\(\displaystyle{ \bullet}\) zauważyć, że rodzina \(\displaystyle{ \bigcup_{I \in \mathcal{I}} \mathcal{J}_I}\) spełnia warunki zadania.