1.Wykazać, że w zwartej przestrzeni metrycznej rodzina podzbiorów
otwarto-domkniętych jest co najwyżej przeliczalna.
2. Wykazać, że każdy zbiór otwarty (liczby rzeczywiste) można przedstawić jako sumę co najwyżej przeliczalnej rodziny przedziałów domkniętych o rozłącznych wnętrzach.
Jak w ogóle rozumieć to "co najwyżej"? I proszę o jakieś wskazówki żeby to formalnie wszystko grało, nie wiem za bardzo jak zacząć
Przeliczalność rodziny podzbiorów
-
- Administrator
- Posty: 34293
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Przeliczalność rodziny podzbiorów
Co najwyżej przeliczalny, czyli mocy \(\displaystyle{ \le\aleph_0}\).Tupensep pisze:Jak w ogóle rozumieć to "co najwyżej"?
JK
- Tupensep
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 10 lis 2018, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Tarnobrzeg
- Podziękował: 8 razy
Re: Przeliczalność rodziny podzbiorów
W sensie zadanie drugie?Dasio11 pisze:2. Gdyby zamiast przedziałów domkniętych były otwarte, to potrafiłabyś?
Może musiałabym posiedzieć dłużej nad zapisem, ale wydaje mi się że w każdym przedziale na liczbach rzeczywistych musi być liczba wymierna (z definicji przedziału, że jest zawarty między dwoma elementami?), a one jak wiadomo są przeliczalne.
Mowa jest tylko o rozłącznych wnętrzach a nie zbiorach (przedziałach), więc teoretycznie nie ma problemu ale co się dzieje na "krawędziach" tego zbioru otwartego to nwm
Wgl w tą stronę ma iść rozumowanie czy całkiem nie ta droga xd
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Przeliczalność rodziny podzbiorów
Dasio11 dał dobrą wskazówkę. Teraz pomyśl jak przedstawić odcinek otwarty jako przeliczalną sumę przedziałów domkniętych
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Przeliczalność rodziny podzbiorów
Zarys dowodu będzie taki:
\(\displaystyle{ \bullet}\) pokazać, że każdy otwarty podzbiór \(\displaystyle{ U \subseteq \RR}\) jest sumą pewnej rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{I}}\) rozłącznych przedziałów otwartych;
\(\displaystyle{ \bullet}\) wykazać, że każda rodzina rozłącznych przedziałów otwartych (a więc ta z punktu wyżej także) jest co najwyżej przeliczalna;
\(\displaystyle{ \bullet}\) przedstawić dowolny przedział otwarty \(\displaystyle{ I \in \mathcal{I}}\) jako sumę rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{J}_I}\) przeliczalnie wielu przedziałów domkniętych o rozłącznych wnętrzach (czyli rozłącznych lub mających wspólny koniec);
\(\displaystyle{ \bullet}\) zauważyć, że rodzina \(\displaystyle{ \bigcup_{I \in \mathcal{I}} \mathcal{J}_I}\) spełnia warunki zadania.
\(\displaystyle{ \bullet}\) pokazać, że każdy otwarty podzbiór \(\displaystyle{ U \subseteq \RR}\) jest sumą pewnej rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{I}}\) rozłącznych przedziałów otwartych;
\(\displaystyle{ \bullet}\) wykazać, że każda rodzina rozłącznych przedziałów otwartych (a więc ta z punktu wyżej także) jest co najwyżej przeliczalna;
\(\displaystyle{ \bullet}\) przedstawić dowolny przedział otwarty \(\displaystyle{ I \in \mathcal{I}}\) jako sumę rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{J}_I}\) przeliczalnie wielu przedziałów domkniętych o rozłącznych wnętrzach (czyli rozłącznych lub mających wspólny koniec);
\(\displaystyle{ \bullet}\) zauważyć, że rodzina \(\displaystyle{ \bigcup_{I \in \mathcal{I}} \mathcal{J}_I}\) spełnia warunki zadania.