Zbadać spójność zbioru

[Unforg1ven]

Mam podzbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) , \(\displaystyle{ A= \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^4-4x^2y^2+4x^6\}}\)
Chce zbadać jego spójność.
Nie zbyt wiem jak do tego podejść.

[a4karo]

Wsk odwzorowanie \(\displaystyle{ (x,y)\to x^4-4x^2y^2+4x^6}\) jest ciągła

[Unforg1ven]

Źle napisałem, powinno być

Mam podzbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) , \(\displaystyle{ A= \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^4-4x^2y^2+4x^6 \le 0\}}\)
Chce zbadać jego spójność.
Nie zbyt wiem jak do tego podejść.

[arek1357]

Popatrz na obszar jaki obejmuje ta nierówność i zauważ, że dowolne dwa punkty tego obszaru(A) połączysz
"drogą":\(\displaystyle{ (0,0) \in A}\)

[Unforg1ven]

Popatrz na obszar jaki obejmuje ta nierówność i zauważ, że dowolne dwa punkty tego obszaru(A) połączysz
"drogą":\(\displaystyle{ (0,0) \in A}\)

Hmmm mówisz o łukowej/drogowej spójności?
Mógłbyś pokazać jak to działa (w tym konkretnym przypadku) bo miałem tyle z niej że było rzucone że jest coś takiego, i wytłumaczone trzy po po trzy że jest mocniejsza niż spójność a że jak połączy każdy punkt "łukiem/drogą", i stwierdzili że się nie będzie używana po czym okazuję się że się przydaje. (między innymi na kolokwium :d)

[Kordyt]

Można np. pokazać, że ten obszar na półpłaszczyznie \(\displaystyle{ \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: \ y \ge 0 \right\}}\) oraz \(\displaystyle{ \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: \ y \le 0 \right\}}\) tworzy zbiór wypukły, czyli dowolne 2 punkty z tych połówek można połączyć prostą, w szczególności więc też każdy punkt z poszczególnej połówki można połączyć z punktem \(\displaystyle{ (0,0)}\), a więc dowolne punkty z różnych połówek obszaru można połączyć łamaną "łamiącą się" w \(\displaystyle{ (0,0)}\).

[Dasio11]

Na początek dobrze to przekształcić:

\(\displaystyle{ {x^4 - 4x^2y^2 + 4x^6 \le 0 \iff 4x^2 y^2 \ge x^4 + 4x^6 \iff y^2 \ge x^4 + \frac{1}{4} x^2 \iff |y| \ge \sqrt{x^4 + \frac{1}{4}x^2}}}\)

a więc jest to suma obszarów nad wykresem funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \sqrt{x^4 + \frac{1}{4}x^2}}\) i pod wykresem funkcji \(\displaystyle{ g(x) = -\sqrt{x^4 + \frac{1}{4}x^2}}\). Na oko \(\displaystyle{ f(x) \approx x^2}\), a więc \(\displaystyle{ g(x) \approx -x^2}\) i górna część to w przybliżeniu obszar nad parabolą \(\displaystyle{ y = x^2}\) a dolna to w przybliżeniu obszar pod parabolą \(\displaystyle{ y = -x^2}\).

[inf1n1ty]

% ... %5E2%7D%7D

Zawszę lubię zobaczyć, jeśli mogę taki obiekt.

@Dasio11