Zbadać ciągłość odwzorowania

[Unforg1ven]

Niech \(\displaystyle{ (X,\rho)}\) będzie przestrzenią metryczną, ponadto niech \(\displaystyle{ A}\) oznacza niepusty podzbiór \(\displaystyle{ X}\) Definiujemy funkcję:
\(\displaystyle{ d:X \rightarrow \mathbb{R} ;\text{ } d(x)=\inf\{\rho (x,y):y\in A \}}\)
Zbadać ciągłość odwzorowania \(\displaystyle{ d}\)
Nie mam za bardzo pomysłu jak do tego podejść, ktoś pomoże?

[Premislav]

Tutaj był taki wątek, zdaje się na jedno wychodzi: 137348.htm

[Unforg1ven]

Czy dobrze rozumiem, jak mam przy jakimś ustalone\(\displaystyle{ A}\)
\(\displaystyle{ d(x)}\) i rozważę odwzorowanie \(\displaystyle{ d(x,A)}\) to prawdziwa jest implikacja że jeśli \(\displaystyle{ d(x,A)}\) jest ciągłe to \(\displaystyle{ d(x)}\) jest też ciągle?

I jakby to

\(\displaystyle{ d(x,y) \le d(x,z) +d(z,y)}\)
biorąc infimum po wszystkich \(\displaystyle{ y \in A}\) w powyższej nierówności otrzymujemy
\(\displaystyle{ d(x,A) \le d(x,z) + d(z,A)}\) skąd
\(\displaystyle{ d(x,A)-d(z,A) \le d(x,z)}\)
Zamieniając miejscami x i z otrzymujemy
\(\displaystyle{ d(z,A)-d(x,A) \le d(x,z)}\)
Łącząc te dwie nierówności dostaniemy
\(\displaystyle{ |d(x,A)-d(z,A) | \le d(x,z)}\)
skąd już wynika ciągłość.

Czy nie jest to dowód tylko w euklidesowym \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) ? Czy ja coś nie rozumiem. Tzn. domyślam się przy tak formułowanym zadaniu oczywiste jest, że rozważamy euklidesową metrykę w obrazie odwzorowania, ale po prostu wolałbym się upewnić...