Zbadać ciągłość odwzorowania

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 305
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 103 razy
Pomógł: 5 razy

Zbadać ciągłość odwzorowania

Post autor: Unforg1ven » 18 gru 2018, o 20:05

Niech \(\displaystyle{ (X,\rho)}\) będzie przestrzenią metryczną, ponadto niech \(\displaystyle{ A}\) oznacza niepusty podzbiór \(\displaystyle{ X}\) Definiujemy funkcję:
\(\displaystyle{ d:X \rightarrow \mathbb{R} ;\text{ } d(x)=\inf\{\rho (x,y):y\in A \}}\)
Zbadać ciągłość odwzorowania \(\displaystyle{ d}\)
Nie mam za bardzo pomysłu jak do tego podejść, ktoś pomoże?
Ostatnio zmieniony 18 gru 2018, o 20:09 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: niepusty.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14319
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 4706 razy

Re: Zbadać ciągłość odwzorowania

Post autor: Premislav » 18 gru 2018, o 20:09

Tutaj był taki wątek, zdaje się na jedno wychodzi: 137348.htm

Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 305
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 103 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Zbadać ciągłość odwzorowania

Post autor: Unforg1ven » 18 gru 2018, o 20:38

Czy dobrze rozumiem, jak mam przy jakimś ustalone\(\displaystyle{ A}\)
\(\displaystyle{ d(x)}\) i rozważę odwzorowanie \(\displaystyle{ d(x,A)}\) to prawdziwa jest implikacja że jeśli \(\displaystyle{ d(x,A)}\) jest ciągłe to \(\displaystyle{ d(x)}\) jest też ciągle?

I jakby to
pipol pisze:\(\displaystyle{ d(x,y) \le d(x,z) +d(z,y)}\)
biorąc infimum po wszystkich \(\displaystyle{ y \in A}\) w powyższej nierówności otrzymujemy
\(\displaystyle{ d(x,A) \le d(x,z) + d(z,A)}\) skąd
\(\displaystyle{ d(x,A)-d(z,A) \le d(x,z)}\)
Zamieniając miejscami x i z otrzymujemy
\(\displaystyle{ d(z,A)-d(x,A) \le d(x,z)}\)
Łącząc te dwie nierówności dostaniemy
\(\displaystyle{ |d(x,A)-d(z,A) | \le d(x,z)}\)
skąd już wynika ciągłość.

Czy nie jest to dowód tylko w euklidesowym \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) ? Czy ja coś nie rozumiem. Tzn. domyślam się przy tak formułowanym zadaniu oczywiste jest, że rozważamy euklidesową metrykę w obrazie odwzorowania, ale po prostu wolałbym się upewnić...

ODPOWIEDZ