Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ (X,d)}\), będzie przestrzenią metryczną i niech \(\displaystyle{ A \subset X}\). Oznaczmy, przez \(\displaystyle{ \partial A}\) zbiór punktów brzegowych zbioru \(\displaystyle{ A}\) tzn.
\(\displaystyle{ \partial A =\{x\in X: \forall \epsilon>0; \exists K(x,\epsilon) \cap A \neq \emptyset \wedge K(x,\epsilon) \cap X \setminus A\neq\emptyset\}}\)
Udownodnić, że:
\(\displaystyle{ 1) \partial A=\cl A \setminus\Int A= (A \setminus \Int A) \cup (\cl A \setminus A)}\)
\(\displaystyle{ 2)\cl(A)=A \cup \partial A}\)
\(\displaystyle{ 3)\Int(A)=A\setminus\partial A}\)
\(\displaystyle{ 4)X=\Int A \cup \partial A \cup \Int(X\setminus A)}\)
5)\(\displaystyle{ A}\) jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \partial A \subset A}\)
6)\(\displaystyle{ A}\) jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ A \cap \partial A =\emptyset}\)
Jakby nie wiem do końca jakby to zapisać w to 100% formalnie, bo rozpisując definicje pojedynczych pojęć te wnioski bardzo szybko oczywiste i nie wiem czy uzasadnienie jest wystarczające. A w 5 i 6 nie mam pomysłu.

Jakby nie wiem do końca jakby to zapisać w to 100% formalnie, bo rozpisując definicje pojedynczych pojęć te wnioski bardzo szybko oczywiste i nie wiem czy uzasadnienie jest wystarczające

To pokaż jakieś uzasadnienie - sprawdzimy je.

W definicji brzegu to \(\displaystyle{ \exists}\) co robi?

Co do 5 i 6.
Zacznij od 6 - z definicji zbioru otwartego w przestrzeni metrycznej wiesz , że każdy punkt należący do A zaweira się w nim razem z pewną kulą (której jest środkiem).

Def. Domknięcia \(\displaystyle{ \cl A = \{ x \in X \forall r>0; K(x,r) \cap A \neq \emptyset \}}\)
Wprost z definicji mamy
\(\displaystyle{ \partial A \subset A}\). Powiąc potocznie \(\displaystyle{ \partial A}\) ma "mocniejsze wymagania",niż \(\displaystyle{ A}\)
Z def. wnętrzna zbioru
\(\displaystyle{ \Int A= \{ x \in X :\exists r>0; K(x,r) \subset A \}}\)
w szczegolności
\(\displaystyle{ \forall x\in \Int A; \exists r>0 : K(x,r) \cap X \setminus A \neq \emptyset}\)
Zatem jak odejmiemy te dwa zbiory od siebie to będzie zachodziła równość, bo warunki się "zgadzają"
*macha energicznie rękami*

A tak to drugiej równości w pierwszym nie mam a 2 i 3 i 4 mam podobnie.