Dowieść parę rzeczy o brzegu.

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 305
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 103 razy
Pomógł: 5 razy

Dowieść parę rzeczy o brzegu.

Post autor: Unforg1ven » 9 gru 2018, o 12:16

Niech \(\displaystyle{ (X,d)}\), będzie przestrzenią metryczną i niech \(\displaystyle{ A \subset X}\). Oznaczmy, przez \(\displaystyle{ \partial A}\) zbiór punktów brzegowych zbioru \(\displaystyle{ A}\) tzn.
\(\displaystyle{ \partial A =\{x\in X: \forall \epsilon>0; \exists K(x,\epsilon) \cap A \neq \emptyset \wedge K(x,\epsilon) \cap X \setminus A\neq\emptyset\}}\)
Udownodnić, że:
\(\displaystyle{ 1) \partial A=\cl A \setminus\Int A= (A \setminus \Int A) \cup (\cl A \setminus A)}\)
\(\displaystyle{ 2)\cl(A)=A \cup \partial A}\)
\(\displaystyle{ 3)\Int(A)=A\setminus\partial A}\)
\(\displaystyle{ 4)X=\Int A \cup \partial A \cup \Int(X\setminus A)}\)
5)\(\displaystyle{ A}\) jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \partial A \subset A}\)
6)\(\displaystyle{ A}\) jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ A \cap \partial A =\emptyset}\)
Jakby nie wiem do końca jakby to zapisać w to 100% formalnie, bo rozpisując definicje pojedynczych pojęć te wnioski bardzo szybko oczywiste i nie wiem czy uzasadnienie jest wystarczające. A w 5 i 6 nie mam pomysłu.
Ostatnio zmieniony 9 gru 2018, o 17:51 przez Unforg1ven, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3121
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 152 razy
Pomógł: 475 razy

Dowieść parę rzeczy o brzegu.

Post autor: leg14 » 9 gru 2018, o 13:46

Jakby nie wiem do końca jakby to zapisać w to 100% formalnie, bo rozpisując definicje pojedynczych pojęć te wnioski bardzo szybko oczywiste i nie wiem czy uzasadnienie jest wystarczające
To pokaż jakieś uzasadnienie - sprawdzimy je.

W definicji brzegu to \(\displaystyle{ \exists}\) co robi?

Co do 5 i 6.
Zacznij od 6 - z definicji zbioru otwartego w przestrzeni metrycznej wiesz , że każdy punkt należący do A zaweira się w nim razem z pewną kulą (której jest środkiem).

Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 305
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 103 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Dowieść parę rzeczy o brzegu.

Post autor: Unforg1ven » 9 gru 2018, o 14:17

Def. Domknięcia \(\displaystyle{ \cl A = \{ x \in X \forall r>0; K(x,r) \cap A \neq \emptyset \}}\)
Wprost z definicji mamy
\(\displaystyle{ \partial A \subset A}\). Powiąc potocznie \(\displaystyle{ \partial A}\) ma "mocniejsze wymagania",niż \(\displaystyle{ A}\)
Z def. wnętrzna zbioru
\(\displaystyle{ \Int A= \{ x \in X :\exists r>0; K(x,r) \subset A \}}\)
w szczegolności
\(\displaystyle{ \forall x\in \Int A; \exists r>0 : K(x,r) \cap X \setminus A \neq \emptyset}\)
Zatem jak odejmiemy te dwa zbiory od siebie to będzie zachodziła równość, bo warunki się "zgadzają"
*macha energicznie rękami*

A tak to drugiej równości w pierwszym nie mam a 2 i 3 i 4 mam podobnie.

ODPOWIEDZ