Matematyka.pl

Mam zbadać zbiór ciągów zbieżnych do 0 tzn. sprawdzić otwartość, domkniętość, spójność, zwartość, w metryce supremum.
\(\displaystyle{ d \left( \left( x_n \right) , \left( y_n \right) \right) = \sup\left\{ \left| x_n - y_n\right|, n\in \mathbb{N}\right\}}\)
Mam pokazny że jest nie otwarty wykazaną biorąc \(\displaystyle{ y_n=x_n+\epsilon}\), i że ciąg \(\displaystyle{ y_n}\) wchodzi do kuli o promieniu \(\displaystyle{ \eposilon}\) a ciąg \(\displaystyle{ y_n}\) nie jest zbieżny do 0.

Sprawdź, czy jest prawdą, że każdy ciąg elementów tej przestrzeni zbiega do ciągu zbieżnego do zera. Wtedy będziesz miał dowiedzioną domkniętość bądź jej brak.

Spójność: wystarczy pokazać, że jest to przestrzeń liniowa, więc jest wypukła, a zatem spójna, bo wypukłość jest warunkiem mocniejszym.