Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza zbiór funkcji rzeczywistych ciągłych, określonych na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\).
W zbiorze tym definujemy metrykę wzorem:
\(\displaystyle{ d(f,g):=\sup_{x\in[0,1]} |f(x)-g(x)|}\)
Zbadać czy podzbiór \(\displaystyle{ Z:=\{f\in X: f(0)^{2}-f(1)^{2}=0\}}\)jest otwarty, domknięty zwarty, spójny w \(\displaystyle{ (X,d)}\)
Otwartość i domkniętość mam pokazaną, z resztą mam problem. Pomysł na te własności, jest taki. Tworzę takie odwzorowanie:
\(\displaystyle{ T_t:X \rightarrow \mathbb{R}; T_t(f)=f(t)}\)
Mam pokazane, że jest one ciągłe (wystarczy wziąć \(\displaystyle{ \delta=\epsilon}\) w def. Cauchy’ego ciągłości)
Teraz jako że Zbiór \(\displaystyle{ Z}\), jest przeciw obrazem pewnego odwzorowania \(\displaystyle{ H:X \rightarrow \mathbb{R}}\), które jest pomnożeniem i dodaniem funkcji \(\displaystyle{ T_t}\) dla \(\displaystyle{ t=0 \wedge t=1}\)
Tzn. \(\displaystyle{ H=(T_0-T_1)(T_0+T_1)}\) Skoro jest przeciw obraz zachowuje otwartość i domkniętość zbioru, przy ciągłym odwzorowaniu, tj. Z jest domknięty i nie otwarty.
Jak podejść do reszty?
Zbadać zbiór funkcji w metryce sup.
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Zbadać zbiór funkcji w metryce sup.
Ostatnio zmieniony 7 gru 2018, o 21:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 29 lis 2018, o 23:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 6 razy
Zbadać zbiór funkcji w metryce sup.
Krócej mówiąc, zbiór \(\displaystyle{ Z}\) jest jądrem odwzorowania \(\displaystyle{ F: X \rightarrow \mathbb{R}, F(f)= f(1)^2 - f(0)^2}\), ot taki funkcjonał. Jest to funkcjonał ciągły, zatem jego jądro (czyli \(\displaystyle{ F^{-1}(0)}\)) jest domknięte, bo zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\) jest domknięty.
W przypadku zwartości polecam rozważyć ciąg funkcji \(\displaystyle{ g_n: \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R}, g_n(x) = n\in \mathbb{N}}\). Czy wyrazy tego ciągu zawierają się w \(\displaystyle{ Z}\)? Czy z tego ciągu możemy wybrać podciąg zbieżny do elementu \(\displaystyle{ Z}\)?
W przypadku spójności moja wskazówka brzmi tak: zbiór \(\displaystyle{ Z}\) można rozłożyć na sumę dwóch zbiorów: \(\displaystyle{ Z_1 = \left\{ f\in X: f(0)=f(1)\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ Z_2 = \left\{ f\in X: f(0)=-f(1)\right\}}\). Zbiory te mają niepusty przekrój (do którego należy choćby funkcja stale równa zeru), zatem jeśli pokazać, że \(\displaystyle{ Z_1, Z_2}\) są spójne, to pokaże to, że \(\displaystyle{ Z}\) jest spójne. Pokaż, że zbiory \(\displaystyle{ Z_1, Z_2}\) są wypukłe, zatem są łukowo spójne, czyli są spójne. Z tego wynika, że skoro mają niepusty przekrój, to \(\displaystyle{ Z = Z_1 \cup Z_2}\) jest spójny.
W przypadku zwartości polecam rozważyć ciąg funkcji \(\displaystyle{ g_n: \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R}, g_n(x) = n\in \mathbb{N}}\). Czy wyrazy tego ciągu zawierają się w \(\displaystyle{ Z}\)? Czy z tego ciągu możemy wybrać podciąg zbieżny do elementu \(\displaystyle{ Z}\)?
W przypadku spójności moja wskazówka brzmi tak: zbiór \(\displaystyle{ Z}\) można rozłożyć na sumę dwóch zbiorów: \(\displaystyle{ Z_1 = \left\{ f\in X: f(0)=f(1)\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ Z_2 = \left\{ f\in X: f(0)=-f(1)\right\}}\). Zbiory te mają niepusty przekrój (do którego należy choćby funkcja stale równa zeru), zatem jeśli pokazać, że \(\displaystyle{ Z_1, Z_2}\) są spójne, to pokaże to, że \(\displaystyle{ Z}\) jest spójne. Pokaż, że zbiory \(\displaystyle{ Z_1, Z_2}\) są wypukłe, zatem są łukowo spójne, czyli są spójne. Z tego wynika, że skoro mają niepusty przekrój, to \(\displaystyle{ Z = Z_1 \cup Z_2}\) jest spójny.
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Zbadać zbiór funkcji w metryce sup.
Nie miałem zarówno funkcjonału liniowego jak i łukowej spójności ale dzięki.-- 7 gru 2018, o 23:29 --Siemorod pisze:Krócej mówiąc, zbiór \(\displaystyle{ Z}\) jest jądrem odwzorowania \(\displaystyle{ F: X \rightarrow \mathbb{R}, F(f)= f(1)^2 - f(0)^2}\), ot taki funkcjonał. Jest to funkcjonał ciągły, zatem jego jądro (czyli \(\displaystyle{ F^{-1}(0)}\)) jest domknięte, bo zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\) jest domknięty.
W przypadku zwartości polecam rozważyć ciąg funkcji \(\displaystyle{ g_n: \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R}, g_n(x) = n\in \mathbb{N}}\). Czy wyrazy tego ciągu zawierają się w \(\displaystyle{ Z}\)? Czy z tego ciągu możemy wybrać podciąg zbieżny do elementu \(\displaystyle{ Z}\)?
W przypadku spójności moja wskazówka brzmi tak: zbiór \(\displaystyle{ Z}\) można rozłożyć na sumę dwóch zbiorów: \(\displaystyle{ Z_1 = \left\{ f\in X: f(0)=f(1)\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ Z_2 = \left\{ f\in X: f(0)=-f(1)\right\}}\). Zbiory te mają niepusty przekrój (do którego należy choćby funkcja stale równa zeru), zatem jeśli pokazać, że \(\displaystyle{ Z_1, Z_2}\) są spójne, to pokaże to, że \(\displaystyle{ Z}\) jest spójne. Pokaż, że zbiory \(\displaystyle{ Z_1, Z_2}\) są wypukłe, zatem są łukowo spójne, czyli są spójne. Z tego wynika, że skoro mają niepusty przekrój, to \(\displaystyle{ Z = Z_1 \cup Z_2}\) jest spójny.
Czy dobrze nie rozumiem, że nie możemy wybrać podciąg zbieżny do tego elementu bo ciąg jest rozbieżny i każdy jego podciąg też? Zatem zbiór nie jest zwarty.Siemorod pisze: W przypadku zwartości polecam rozważyć ciąg funkcji \(\displaystyle{ g_n: \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R}, g_n(x) = n\in \mathbb{N}}\). Czy wyrazy tego ciągu zawierają się w \(\displaystyle{ Z}\)? Czy z tego ciągu możemy wybrać podciąg zbieżny do elementu \(\displaystyle{ Z}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 29 lis 2018, o 23:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 6 razy
Zbadać zbiór funkcji w metryce sup.
Jedna z równoważnych definicji zwartości mówi, że przestrzeń jest zwarta, jeżeli z każdego ciągu elementów tej przestrzeni możemy wybrać podciąg zbieżny do pewnego elementu tej przestrzeni. Tutaj trzeba uzasadnić, że żaden podciąg tego ciągu nie jest zbieżny, można pokazać, że dla każdego podciągu \(\displaystyle{ g_{n_k}}\) ciągu \(\displaystyle{ g_n}\) mamy \(\displaystyle{ d \left( g_{n_i}, g_{n_j}\right) > \frac{1}{2}}\) dla \(\displaystyle{ i \neq j}\), czyli żaden podciąg ciągu \(\displaystyle{ g_n}\) nie jest ciągiem Cauchy'ego, w szczególności więc nie jest ciągiem zbieżnym. Oznacza to, że wskazaliśmy ciąg w przestrzeni \(\displaystyle{ Z}\), który nie ma podciągu zbieżnego do elementu \(\displaystyle{ Z}\), więc przestrzeń ta nie spełnia definicji zwartości.Unforg1ven pisze:Czy dobrze nie rozumiem, że nie możemy wybrać podciąg zbieżny do tego elementu bo ciąg jest rozbieżny i każdy jego podciąg też? Zatem zbiór nie jest zwarty.Siemorod pisze: W przypadku zwartości polecam rozważyć ciąg funkcji \(\displaystyle{ g_n: \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R}, g_n(x) = n\in \mathbb{N}}\). Czy wyrazy tego ciągu zawierają się w \(\displaystyle{ Z}\)? Czy z tego ciągu możemy wybrać podciąg zbieżny do elementu \(\displaystyle{ Z}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Zbadać zbiór funkcji w metryce sup.
Ale tu skorzystałeś z tego że przestrzeń jest zupełna co nie jest dla mnie oczywiste.Siemorod pisze:Jedna z równoważnych definicji zwartości mówi, że przestrzeń jest zwarta, jeżeli z każdego ciągu elementów tej przestrzeni możemy wybrać podciąg zbieżny do pewnego elementu tej przestrzeni. Tutaj trzeba uzasadnić, że żaden podciąg tego ciągu nie jest zbieżny, można pokazać, że dla każdego podciągu \(\displaystyle{ g_{n_k}}\) ciągu \(\displaystyle{ g_n}\) mamy \(\displaystyle{ d \left( g_{n_i}, g_{n_j}\right) > \frac{1}{2}}\) dla \(\displaystyle{ i \neq j}\), czyli żaden podciąg ciągu \(\displaystyle{ g_n}\) nie jest ciągiem Cauchy'ego, w szczególności więc nie jest ciągiem zbieżnym. Oznacza to, że wskazaliśmy ciąg w przestrzeni \(\displaystyle{ Z}\), który nie ma podciągu zbieżnego do elementu \(\displaystyle{ Z}\), więc przestrzeń ta nie spełnia definicji zwartości.Unforg1ven pisze:Czy dobrze nie rozumiem, że nie możemy wybrać podciąg zbieżny do tego elementu bo ciąg jest rozbieżny i każdy jego podciąg też? Zatem zbiór nie jest zwarty.Siemorod pisze: W przypadku zwartości polecam rozważyć ciąg funkcji \(\displaystyle{ g_n: \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R}, g_n(x) = n\in \mathbb{N}}\). Czy wyrazy tego ciągu zawierają się w \(\displaystyle{ Z}\)? Czy z tego ciągu możemy wybrać podciąg zbieżny do elementu \(\displaystyle{ Z}\)?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Zbadać zbiór funkcji w metryce sup.
Argument jest poprawny, ale nazewnictwo nie. Odwzorowanie \(\displaystyle{ F}\) nie jest funkcjonałem liniowym, więc nie można mówić o jego jądrze.Siemorod pisze:Krócej mówiąc, zbiór \(\displaystyle{ Z}\) jest jądrem odwzorowania \(\displaystyle{ F: X \rightarrow \mathbb{R}, F(f)= f(1)^2 - f(0)^2}\), ot taki funkcjonał. Jest to funkcjonał ciągły, zatem jego jądro (czyli \(\displaystyle{ F^{-1}(0)}\)) jest domknięte, bo zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\) jest domknięty.
Nie skorzystał. Stwierdzenie, że każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy'ego - a w konsekwencji: każdy ciąg, który nie jest ciągiem Cauchy'ego, jest rozbieżny - jest prawdziwe w każdej przestrzeni metrycznej.Unforg1ven pisze:Ale tu skorzystałeś z tego że przestrzeń jest zupełna co nie jest dla mnie oczywiste.
Acknowledgements: dziękuję a4karo za wysłaną przez PW korektę w zakresie nazewnictwa.