Zbadać zbiór funkcji w metryce sup.

[Unforg1ven]

Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza zbiór funkcji rzeczywistych ciągłych, określonych na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\).
W zbiorze tym definujemy metrykę wzorem:
\(\displaystyle{ d(f,g):=\sup_{x\in[0,1]} |f(x)-g(x)|}\)
Zbadać czy podzbiór \(\displaystyle{ Z:=\{f\in X: f(0)^{2}-f(1)^{2}=0\}}\)jest otwarty, domknięty zwarty, spójny w \(\displaystyle{ (X,d)}\)
Otwartość i domkniętość mam pokazaną, z resztą mam problem. Pomysł na te własności, jest taki. Tworzę takie odwzorowanie:
\(\displaystyle{ T_t:X \rightarrow \mathbb{R}; T_t(f)=f(t)}\)
Mam pokazane, że jest one ciągłe (wystarczy wziąć \(\displaystyle{ \delta=\epsilon}\) w def. Cauchy’ego ciągłości)
Teraz jako że Zbiór \(\displaystyle{ Z}\), jest przeciw obrazem pewnego odwzorowania \(\displaystyle{ H:X \rightarrow \mathbb{R}}\), które jest pomnożeniem i dodaniem funkcji \(\displaystyle{ T_t}\) dla \(\displaystyle{ t=0 \wedge t=1}\)
Tzn. \(\displaystyle{ H=(T_0-T_1)(T_0+T_1)}\) Skoro jest przeciw obraz zachowuje otwartość i domkniętość zbioru, przy ciągłym odwzorowaniu, tj. Z jest domknięty i nie otwarty.

Jak podejść do reszty?

[Siemorod]

Krócej mówiąc, zbiór \(\displaystyle{ Z}\) jest jądrem odwzorowania \(\displaystyle{ F: X \rightarrow \mathbb{R}, F(f)= f(1)^2 - f(0)^2}\), ot taki funkcjonał. Jest to funkcjonał ciągły, zatem jego jądro (czyli \(\displaystyle{ F^{-1}(0)}\)) jest domknięte, bo zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\) jest domknięty.

W przypadku zwartości polecam rozważyć ciąg funkcji \(\displaystyle{ g_n: \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R}, g_n(x) = n\in \mathbb{N}}\). Czy wyrazy tego ciągu zawierają się w \(\displaystyle{ Z}\)? Czy z tego ciągu możemy wybrać podciąg zbieżny do elementu \(\displaystyle{ Z}\)?

W przypadku spójności moja wskazówka brzmi tak: zbiór \(\displaystyle{ Z}\) można rozłożyć na sumę dwóch zbiorów: \(\displaystyle{ Z_1 = \left\{ f\in X: f(0)=f(1)\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ Z_2 = \left\{ f\in X: f(0)=-f(1)\right\}}\). Zbiory te mają niepusty przekrój (do którego należy choćby funkcja stale równa zeru), zatem jeśli pokazać, że \(\displaystyle{ Z_1, Z_2}\) są spójne, to pokaże to, że \(\displaystyle{ Z}\) jest spójne. Pokaż, że zbiory \(\displaystyle{ Z_1, Z_2}\) są wypukłe, zatem są łukowo spójne, czyli są spójne. Z tego wynika, że skoro mają niepusty przekrój, to \(\displaystyle{ Z = Z_1 \cup Z_2}\) jest spójny.

[Unforg1ven]

Krócej mówiąc, zbiór \(\displaystyle{ Z}\) jest jądrem odwzorowania \(\displaystyle{ F: X \rightarrow \mathbb{R}, F(f)= f(1)^2 - f(0)^2}\), ot taki funkcjonał. Jest to funkcjonał ciągły, zatem jego jądro (czyli \(\displaystyle{ F^{-1}(0)}\)) jest domknięte, bo zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\) jest domknięty.

W przypadku zwartości polecam rozważyć ciąg funkcji \(\displaystyle{ g_n: \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R}, g_n(x) = n\in \mathbb{N}}\). Czy wyrazy tego ciągu zawierają się w \(\displaystyle{ Z}\)? Czy z tego ciągu możemy wybrać podciąg zbieżny do elementu \(\displaystyle{ Z}\)?

W przypadku spójności moja wskazówka brzmi tak: zbiór \(\displaystyle{ Z}\) można rozłożyć na sumę dwóch zbiorów: \(\displaystyle{ Z_1 = \left\{ f\in X: f(0)=f(1)\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ Z_2 = \left\{ f\in X: f(0)=-f(1)\right\}}\). Zbiory te mają niepusty przekrój (do którego należy choćby funkcja stale równa zeru), zatem jeśli pokazać, że \(\displaystyle{ Z_1, Z_2}\) są spójne, to pokaże to, że \(\displaystyle{ Z}\) jest spójne. Pokaż, że zbiory \(\displaystyle{ Z_1, Z_2}\) są wypukłe, zatem są łukowo spójne, czyli są spójne. Z tego wynika, że skoro mają niepusty przekrój, to \(\displaystyle{ Z = Z_1 \cup Z_2}\) jest spójny.

Nie miałem zarówno funkcjonału liniowego jak i łukowej spójności ale dzięki.-- 7 gru 2018, o 23:29 --

W przypadku zwartości polecam rozważyć ciąg funkcji \(\displaystyle{ g_n: \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R}, g_n(x) = n\in \mathbb{N}}\). Czy wyrazy tego ciągu zawierają się w \(\displaystyle{ Z}\)? Czy z tego ciągu możemy wybrać podciąg zbieżny do elementu \(\displaystyle{ Z}\)?

Czy dobrze nie rozumiem, że nie możemy wybrać podciąg zbieżny do tego elementu bo ciąg jest rozbieżny i każdy jego podciąg też? Zatem zbiór nie jest zwarty.

[Siemorod]

W przypadku zwartości polecam rozważyć ciąg funkcji \(\displaystyle{ g_n: \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R}, g_n(x) = n\in \mathbb{N}}\). Czy wyrazy tego ciągu zawierają się w \(\displaystyle{ Z}\)? Czy z tego ciągu możemy wybrać podciąg zbieżny do elementu \(\displaystyle{ Z}\)?

Czy dobrze nie rozumiem, że nie możemy wybrać podciąg zbieżny do tego elementu bo ciąg jest rozbieżny i każdy jego podciąg też? Zatem zbiór nie jest zwarty.

Jedna z równoważnych definicji zwartości mówi, że przestrzeń jest zwarta, jeżeli z każdego ciągu elementów tej przestrzeni możemy wybrać podciąg zbieżny do pewnego elementu tej przestrzeni. Tutaj trzeba uzasadnić, że żaden podciąg tego ciągu nie jest zbieżny, można pokazać, że dla każdego podciągu \(\displaystyle{ g_{n_k}}\) ciągu \(\displaystyle{ g_n}\) mamy \(\displaystyle{ d \left( g_{n_i}, g_{n_j}\right) > \frac{1}{2}}\) dla \(\displaystyle{ i \neq j}\), czyli żaden podciąg ciągu \(\displaystyle{ g_n}\) nie jest ciągiem Cauchy'ego, w szczególności więc nie jest ciągiem zbieżnym. Oznacza to, że wskazaliśmy ciąg w przestrzeni \(\displaystyle{ Z}\), który nie ma podciągu zbieżnego do elementu \(\displaystyle{ Z}\), więc przestrzeń ta nie spełnia definicji zwartości.

[Unforg1ven]

W przypadku zwartości polecam rozważyć ciąg funkcji \(\displaystyle{ g_n: \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R}, g_n(x) = n\in \mathbb{N}}\). Czy wyrazy tego ciągu zawierają się w \(\displaystyle{ Z}\)? Czy z tego ciągu możemy wybrać podciąg zbieżny do elementu \(\displaystyle{ Z}\)?

Czy dobrze nie rozumiem, że nie możemy wybrać podciąg zbieżny do tego elementu bo ciąg jest rozbieżny i każdy jego podciąg też? Zatem zbiór nie jest zwarty.

Jedna z równoważnych definicji zwartości mówi, że przestrzeń jest zwarta, jeżeli z każdego ciągu elementów tej przestrzeni możemy wybrać podciąg zbieżny do pewnego elementu tej przestrzeni. Tutaj trzeba uzasadnić, że żaden podciąg tego ciągu nie jest zbieżny, można pokazać, że dla każdego podciągu \(\displaystyle{ g_{n_k}}\) ciągu \(\displaystyle{ g_n}\) mamy \(\displaystyle{ d \left( g_{n_i}, g_{n_j}\right) > \frac{1}{2}}\) dla \(\displaystyle{ i \neq j}\), czyli żaden podciąg ciągu \(\displaystyle{ g_n}\) nie jest ciągiem Cauchy'ego, w szczególności więc nie jest ciągiem zbieżnym. Oznacza to, że wskazaliśmy ciąg w przestrzeni \(\displaystyle{ Z}\), który nie ma podciągu zbieżnego do elementu \(\displaystyle{ Z}\), więc przestrzeń ta nie spełnia definicji zwartości.

Ale tu skorzystałeś z tego że przestrzeń jest zupełna co nie jest dla mnie oczywiste.

[Dasio11]

Krócej mówiąc, zbiór \(\displaystyle{ Z}\) jest jądrem odwzorowania \(\displaystyle{ F: X \rightarrow \mathbb{R}, F(f)= f(1)^2 - f(0)^2}\), ot taki funkcjonał. Jest to funkcjonał ciągły, zatem jego jądro (czyli \(\displaystyle{ F^{-1}(0)}\)) jest domknięte, bo zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\) jest domknięty.

Argument jest poprawny, ale nazewnictwo nie. Odwzorowanie \(\displaystyle{ F}\) nie jest funkcjonałem liniowym, więc nie można mówić o jego jądrze.

Ale tu skorzystałeś z tego że przestrzeń jest zupełna co nie jest dla mnie oczywiste.

Nie skorzystał. Stwierdzenie, że każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy'ego - a w konsekwencji: każdy ciąg, który nie jest ciągiem Cauchy'ego, jest rozbieżny - jest prawdziwe w każdej przestrzeni metrycznej.

Acknowledgements: dziękuję a4karo za wysłaną przez PW korektę w zakresie nazewnictwa.