Wykazać, że X jest p. metryczną zwartą wtedy i tylko..
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Wykazać, że X jest p. metryczną zwartą wtedy i tylko..
Niech \(\displaystyle{ X}\) przestrzeń metryczna. Udowodnić następującą równoważność :
\(\displaystyle{ \left(\text{X jest przestrzenią zwartą} \right) \Leftrightarrow\left(\text{Każdy ciąg w X, mający dokładnie jeden punkt skupienia jest zbieżny}\right)}\)
Wskazówka nieobowiązkowa: Dowodząć \(\displaystyle{ \Leftarrow}\), można zacząć od pokazania że z warunku po prawej wynika że każdy ciąg ma punkt skupienia.
Punkt skupienia ciągu to jest taki punkt do którego można utworzyć podciąg zbieżny do tego punktu?Dobrze rozumiem?
A jeżeli tak to skoro istnieje tylko jeden do w ogólności każdy podciąg jest zbieżny do tego punktu, zatem sam ciąg jest zbieżny do tego punktu, zatem ten ciąg posiada punkt skupienia.
Dalej mam mętlik w głowie i nie potrawie tego pociągnąć.
\(\displaystyle{ \left(\text{X jest przestrzenią zwartą} \right) \Leftrightarrow\left(\text{Każdy ciąg w X, mający dokładnie jeden punkt skupienia jest zbieżny}\right)}\)
Wskazówka nieobowiązkowa: Dowodząć \(\displaystyle{ \Leftarrow}\), można zacząć od pokazania że z warunku po prawej wynika że każdy ciąg ma punkt skupienia.
Punkt skupienia ciągu to jest taki punkt do którego można utworzyć podciąg zbieżny do tego punktu?Dobrze rozumiem?
A jeżeli tak to skoro istnieje tylko jeden do w ogólności każdy podciąg jest zbieżny do tego punktu, zatem sam ciąg jest zbieżny do tego punktu, zatem ten ciąg posiada punkt skupienia.
Dalej mam mętlik w głowie i nie potrawie tego pociągnąć.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Wykazać, że X jest p. metryczną zwartą wtedy i tylko..
Jaką masz definicję przestrzeni zwartej?
Intuicja związana z przestrzeniami metrycznymi zwartymi jest taka, że każdy ciąg ma punkt skupienia, czyli intuicyjnie, nie ma ciągów rozbieżnych do nieskończoności.
Wskazówka do \(\displaystyle{ \Rightarrow}\): spróbuj nie wprost.
Tak.Unforg1ven pisze:Punkt skupienia ciągu to jest taki punkt do którego można utworzyć podciąg zbieżny do tego punktu?Dobrze rozumiem?
Raczej: każdy podciąg, który w ogóle jest zbieżny, jest zbieżny do tego punktu, ale ogólnie może być jeszcze rozbieżny.Unforg1ven pisze:skoro istnieje tylko jeden do w ogólności każdy podciąg jest zbieżny do tego punktu,
Intuicja związana z przestrzeniami metrycznymi zwartymi jest taka, że każdy ciąg ma punkt skupienia, czyli intuicyjnie, nie ma ciągów rozbieżnych do nieskończoności.
Wskazówka do \(\displaystyle{ \Rightarrow}\): spróbuj nie wprost.
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Wykazać, że X jest p. metryczną zwartą wtedy i tylko..
Zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otwartego pokrycia, ma pod pokrycie skończone.Dasio11 pisze:Jaką masz definicję przestrzeni zwartej?
Lub równoważnie jest ciągowo zwarty, (jako że akcja dzieje się na przestrzeni metrycznej)
Dowód w \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) edit: powinno być \(\displaystyle{ \Leftarrow}\)Dasio11 pisze:Wskazówka do \(\displaystyle{ \Rightarrow:}\) spróbuj nie wprost.
Załóżmy, że nie jest przestrzeń zwarta. Wtedy dla jakiegoś ciągu każdy jego podciąg nie jest zbieżny do punktu należącego do tej przestrzeni.Ponieważ z zał. każdy ciąg zawiera punkt skupienia, zatem zawiera podciąg zbieżny do elementu tej przestrzeni. Otrzymujemy sprzeczność.
Poprawnie?
Ostatnio zmieniony 6 gru 2018, o 11:49 przez Unforg1ven, łącznie zmieniany 1 raz.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Wykazać, że X jest p. metryczną zwartą wtedy i tylko..
Skoro dowodzisz \(\displaystyle{ \Rightarrow}\), to zapewne milcząco zakładasz, że przestrzeń jest zwarta. Następnie zakładasz, że przestrzeń nie jest zwarta. Sposób otrzymania sprzeczności z tych założeń jest poprawny (choć nie najbardziej optymalny), ale co w ten sposób udowodniłeś?
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Wykazać, że X jest p. metryczną zwartą wtedy i tylko..
Myślałem o \(\displaystyle{ \Leftarrow}\) a napisałem \(\displaystyle{ \Rightarrow}\). Mea culpaDasio11 pisze:Skoro dowodzisz \(\displaystyle{ \Rightarrow}\), to zapewne milcząco zakładasz, że przestrzeń jest zwarta. Następnie zakładasz, że przestrzeń nie jest zwarta. Sposób otrzymania sprzeczności z tych założeń jest poprawny (choć nie najbardziej optymalny), ale co w ten sposób udowodniłeś?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Wykazać, że X jest p. metryczną zwartą wtedy i tylko..
W takim razie niepoprawnie wygląda poniższe przejście:
Żeby skorzystać z założenia, musisz skonstruować jakiś ciąg, który ma dokładnie jeden punkt skupienia.
Założenie było takie, że dla każdego ciągu \(\displaystyle{ x_n}\), jeśli \(\displaystyle{ x_n}\) ma dokładnie jeden punkt skupienia, to \(\displaystyle{ x_n}\) jest zbieżny. Natomiast Ty powołujesz się na to, że każdy ciąg zawiera punkt skupienia, a takiego założenia nie ma (w istocie jest to jeden z trywialnych równoważników zwartości).Unforg1ven pisze:Ponieważ z zał. każdy ciąg zawiera punkt skupienia, zatem zawiera podciąg zbieżny do elementu tej przestrzeni
Żeby skorzystać z założenia, musisz skonstruować jakiś ciąg, który ma dokładnie jeden punkt skupienia.
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Wykazać, że X jest p. metryczną zwartą wtedy i tylko..
Skoro trywialny to nie ma co dowodzić c.b.d.u. : PDasio11 pisze: (w istocie jest to jeden z trywialnych równoważników zwartości).
A tak na serio:
To siedzę od tym już od 1h, i nie potrawie nic udowodnić bez podania w błędy logiczne.
Jakaś dodatkowa wskazówka?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Wykazać, że X jest p. metryczną zwartą wtedy i tylko..
Początek masz dobrze: zakładasz nie wprost, że przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) nie jest zwarta, i wnioskujesz, że istnieje ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) elementów \(\displaystyle{ X}\) bez podciągu zbieżnego (czyli bez punktu skupienia). Żeby uzyskać sprzeczność z założeniem (poprzednikiem implikacji, której dowodzisz), musisz skonstruować ciąg o dokładnie jednym punkcie skupienia, ale rozbieżny.
Problem jest więc taki: jak z ciągu bez punktu skupienia skonstruować ciąg rozbieżny o dokładnie jednym punkcie skupienia?
Jeśli nie widzisz, spróbuj wziąć konkretną przestrzeń metryczną, np. \(\displaystyle{ \RR}\). Ciąg \(\displaystyle{ x_n = n}\) nie ma punktu skupienia (co zaświadcza o tym, że \(\displaystyle{ \RR}\) nie jest zwarta). Potrafisz jakoś przerobić ten ciąg, żeby \(\displaystyle{ 0}\) było jego jedynym punktem skupienia, ale żeby nadal był rozbieżny?
Problem jest więc taki: jak z ciągu bez punktu skupienia skonstruować ciąg rozbieżny o dokładnie jednym punkcie skupienia?
Jeśli nie widzisz, spróbuj wziąć konkretną przestrzeń metryczną, np. \(\displaystyle{ \RR}\). Ciąg \(\displaystyle{ x_n = n}\) nie ma punktu skupienia (co zaświadcza o tym, że \(\displaystyle{ \RR}\) nie jest zwarta). Potrafisz jakoś przerobić ten ciąg, żeby \(\displaystyle{ 0}\) było jego jedynym punktem skupienia, ale żeby nadal był rozbieżny?
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Wykazać, że X jest p. metryczną zwartą wtedy i tylko..
Ciąg \(\displaystyle{ a_n=(-1)^{n}n+n}\) ma punkt skupienia w 0, gdyż dla \(\displaystyle{ n=2k+1, k\in \mathbb{N}}\) zbiega do 0, ale dla \(\displaystyle{ n=2k}\) jest rozbieżny zatem \(\displaystyle{ a_n}\) jest rozbieżny.Dasio11 pisze: Jeśli nie widzisz, spróbuj wziąć konkretną przestrzeń metryczną, np. \(\displaystyle{ \RR}\). Ciąg \(\displaystyle{ x_n = n}\) nie ma punktu skupienia (co zaświadcza o tym, że \(\displaystyle{ \RR}\) nie jest zwarta). Potrafisz jakoś przerobić ten ciąg, żeby \(\displaystyle{ 0}\) było jego jedynym punktem skupienia, ale żeby nadal był rozbieżny?
Nie mam nic powiedziane na temat metryki, więc nie wiem czy mój pomysł jest właściwy, ale:Dasio11 pisze: Problem jest więc taki: jak z ciągu bez punktu skupienia skonstruować ciąg rozbieżny o dokładnie jednym punkcie skupienia?
(Wydaje mi się, że będzie prawidłowy na tylko przestrzeniach z metryką równoważnej euklidesowej ale być może się mylę)
Załóżmy że ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) nie ma punktów skupienia.
Bierzemy ciąg \(\displaystyle{ (-1)^{n}x_n+x_n}\), ma on punkt skupienia, i jest rozbieżny.
Sprzeczność z tezą, bo \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest dowolnym ciągiem takim że nie ma podciągu zbieżnego a skonstruowaliśmy taki.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Wykazać, że X jest p. metryczną zwartą wtedy i tylko..
Ok.Unforg1ven pisze:Ciąg \(\displaystyle{ a_n=(-1)^{n}n+n}\) ma punkt skupienia w 0, gdyż dla \(\displaystyle{ n=2k+1, k\in \mathbb{N}}\) zbiega do 0, ale dla \(\displaystyle{ n=2k}\) jest rozbieżny zatem \(\displaystyle{ a_n}\) jest rozbieżny.
To nie ma sensu. Wyrazy ciągu \(\displaystyle{ x_n}\) są elementami dowolnej przestrzeni metrycznej, na przykład zbioru Cantora, a w rozwiązaniu próbujesz je mnożyć przez \(\displaystyle{ (-1)^n}\) i dodawać. Takie operacje nie są określone.Unforg1ven pisze:Załóżmy że ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) nie ma punktów skupienia.
Bierzemy ciąg \(\displaystyle{ (-1)^{n}x_n+x_n}\), ma on punkt skupienia, i jest rozbieżny.
Musisz wymyślić taki sposób konstrukcji, który będzie poprawny w każdej przestrzeni metrycznej. Jesteś już dość blisko.
Po pierwsze: nie ma sensu dochodzić do sprzeczności z tezą. Można dochodzić do sprzeczności z założeniem w przypadku dowodu nie wprost. Po drugie: co to znaczy "skonstruowaliśmy taki"?Unforg1ven pisze:Sprzeczność z tezą, bo \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest dowolnym ciągiem takim że nie ma podciągu zbieżnego a skonstruowaliśmy taki.
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Wykazać, że X jest p. metryczną zwartą wtedy i tylko..
Czy ta konstrukcja jest prawidłowa?Dasio11 pisze: Musisz wymyślić taki sposób konstrukcji, który będzie poprawny w każdej przestrzeni metrycznej. Jesteś już dość blisko.
Bierzemy rozbieżny ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\)
Ustalamy jakieś \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\)
Niech \(\displaystyle{ a_n=x_k}\), kiedy \(\displaystyle{ n=2l, l\in\mathh{N}}\)
oraz \(\displaystyle{ a_n=x_n}\) w pozostałych przypadkach.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Wykazać, że X jest p. metryczną zwartą wtedy i tylko..
Dokładniej: ciąg bez podciągu zbieżnego.Unforg1ven pisze:Bierzemy rozbieżny ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\)
Ok, ale lepiej wziąć konkretne, np. \(\displaystyle{ k = 5}\).Unforg1ven pisze:Ustalamy jakieś \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\)
Konstrukcja jest dobra, ale to też trzeba uzasadnić.
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Wykazać, że X jest p. metryczną zwartą wtedy i tylko..
Dowód w \(\displaystyle{ \Leftarrow}\) stronę.
Zauważmy że wystarczy wykazać wskazówkę żeby wykazać tą implikację, ponieważ jeżeli każdy ciąg ma punkt skupienia w szczególności z definicji punktu skupienia, można wybrać podciąg zbieżny do tego punktu, oraz jeśli jest zbieżny to musi być zbieżny do punktu z tejże przestrzeni, co jest równoważne ciągowej zwartości.
Kolejny dowód nie wprost.
Załóżmy, że istnieje ciąg nie posiadający lub posiadający więcej niż jeden punkty skupienia,który jest zbieżny.
Jeśli ciąg nie posiada punktów skupienia, pokazaliśmy że taki ciąg nie istnieje bo można zawsze wybrać podciąg zbieżny do jednego punktu skupienia (skonstruowaliśmy go)...
Jeśli posiada więcej niż jeden punkt skupienia to z twierdzenia, że podciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy jest, gdy wszystkie jego podciągi dążą do tej samej granicy, mamy ciąg rozbieżny. Sprzeczność-- 7 gru 2018, o 21:19 --
Zauważmy że wystarczy wykazać wskazówkę żeby wykazać tą implikację, ponieważ jeżeli każdy ciąg ma punkt skupienia w szczególności z definicji punktu skupienia, można wybrać podciąg zbieżny do tego punktu, oraz jeśli jest zbieżny to musi być zbieżny do punktu z tejże przestrzeni, co jest równoważne ciągowej zwartości.
Kolejny dowód nie wprost.
Załóżmy, że istnieje ciąg nie posiadający lub posiadający więcej niż jeden punkty skupienia,który jest zbieżny.
Jeśli ciąg nie posiada punktów skupienia, pokazaliśmy że taki ciąg nie istnieje bo można zawsze wybrać podciąg zbieżny do jednego punktu skupienia (skonstruowaliśmy go)...
Jeśli posiada więcej niż jeden punkt skupienia to z twierdzenia, że podciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy jest, gdy wszystkie jego podciągi dążą do tej samej granicy, mamy ciąg rozbieżny. Sprzeczność-- 7 gru 2018, o 21:19 --
Podciąg jest stały zatem ma punkt skupienia w \(\displaystyle{ x_k}\) ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest rozbieżny, bo ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) nie podciągu zbieżnego,zatem jest rozbieżny znowu z twierdzenia że ciąg jest zbieżny tylko wtedy kiedy wszystkie jego podciągi są zbieżne do tej samej granicy... .Dasio11 pisze:Dokładniej: ciąg bez podciągu zbieżnego.Unforg1ven pisze:Bierzemy rozbieżny ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\)
Ok, ale lepiej wziąć konkretne, np. \(\displaystyle{ k = 5}\).Unforg1ven pisze:Ustalamy jakieś \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\)
Konstrukcja jest dobra, ale to też trzeba uzasadnić.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Wykazać, że X jest p. metryczną zwartą wtedy i tylko..
Czyli w tę, co dotychczas.Unforg1ven pisze:Dowód w \(\displaystyle{ \Leftarrow}\) stronę.
Jakiej tezie w tym miejscu zaprzeczasz?Unforg1ven pisze:Kolejny dowód nie wprost.
Załóżmy, że istnieje ciąg nie posiadający lub posiadający więcej niż jeden punkty skupienia,który jest zbieżny.
To, co skonstruowałeś, to nie podciąg i nie był on zbieżny do jednego punktu skupienia. Powinno być: jeśli ciąg nie ma punktów skupienia, to możemy przy jego użyciu skonstruować ciąg rozbieżny, który ma dokładnie jeden punkt skupienia, co daje sprzeczność z założeniem.Unforg1ven pisze:Jeśli ciąg nie posiada punktów skupienia, pokazaliśmy że taki ciąg nie istnieje bo można zawsze wybrać podciąg zbieżny do jednego punktu skupienia (skonstruowaliśmy go)...
Czego to dowodzi?Unforg1ven pisze:Podciąg jest stały zatem ma punkt skupienia w \(\displaystyle{ x_k}\) ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest rozbieżny, bo ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) nie podciągu zbieżnego,zatem jest rozbieżny znowu z twierdzenia że ciąg jest zbieżny tylko wtedy kiedy wszystkie jego podciągi są zbieżne do tej samej granicy... .
-
- Użytkownik
- Posty: 308
- Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 104 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Wykazać, że X jest p. metryczną zwartą wtedy i tylko..
Znowu pomyliły mi się zwroty.. Powinno być \(\displaystyle{ \Rightarrow}\)Dasio11 pisze:Czyli w tę, co dotychczas.Unforg1ven pisze:Dowód w \(\displaystyle{ \Leftarrow}\) stronę.
Jakiej tezie w tym miejscu zaprzeczasz?Unforg1ven pisze:Kolejny dowód nie wprost.
Załóżmy, że istnieje ciąg nie posiadający lub posiadający więcej niż jeden punkty skupienia,który jest zbieżny.
Podsumujmy:
Dowód \(\displaystyle{ \Leftarrow}\)
Zakładamy, że przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) nie jest zwarta. Zatem istnieje ciąg, \(\displaystyle{ (x_n)}\) elementów, bez podciągu zbieżnego, zatem ten ciąg jest rozbieżny, z tw. podciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy jest, gdy wszystkie jego podciągi dążą do tej samej granicy.
Skontrujemy, taki ciąg, że ma podciąg zbieżny(ma punkt skupienia) ale sam ciąg jest rozbieżny.
Bierzemy rozbieżny ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\)
Ustalamy jakieś \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\) np. \(\displaystyle{ k=5}\)
Niech \(\displaystyle{ a_n=x_k}\), kiedy \(\displaystyle{ n=2l, l\in\mathh{N}}\)
oraz \(\displaystyle{ a_n=x_n}\) w pozostałych przypadkach.
Podciąg jest stały zatem ma punkt skupienia w \(\displaystyle{ x_k}\) ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest rozbieżny, bo ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) nie podciągu zbieżnego,zatem jest rozbieżny znowu z twierdzenia że ciąg jest zbieżny tylko wtedy kiedy wszystkie jego podciągi są zbieżne do tej samej granicy, zatem dla każdego ciągu da się utworzyć podciąg zbieżny. Sprzeczność.
Dówód w \(\displaystyle{ \Rightarrow}\)
Zauważmy że wystarczy wykazać wskazówkę żeby wykazać tą implikację, ponieważ jeżeli każdy ciąg ma punkt skupienia w szczególności z definicji punktu skupienia, można wybrać podciąg zbieżny do tego punktu, oraz jeśli jest zbieżny to musi być zbieżny do punktu z tejże przestrzeni, co jest równoważne ciągowej zwartości.
Kolejny dowód nie wprost.
Załóżmy, że istnieje ciąg nie posiadający lub posiadający więcej niż jeden punkty skupienia,który jest zbieżny.
Jeśli posiada więcej niż jeden punkt skupienia to z twierdzenia, że podciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy jest, gdy wszystkie jego podciągi dążą do tej samej granicy, mamy ciąg rozbieżny. Sprzeczność
Jeśli ciąg nie ma punktów skupienia, to możemy przy jego użyciu skonstruować ciąg rozbieżny, który ma dokładnie jeden punkt skupienia, co daje sprzeczność z założeniem.