Argument dotyczący rozbieżności ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest poprawny, ale można prościej: \(\displaystyle{ x_n}\) jest swoim własnym podciągiem, a skoro każdy jego podciąg jest rozbieżny, to \(\displaystyle{ x_n}\) jest rozbieżny jako jeden z takich podciągów.Unforg1ven pisze:Zatem istnieje ciąg, \(\displaystyle{ (x_n)}\) elementów, bez podciągu zbieżnego, zatem ten ciąg jest rozbieżny, z tw. podciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy jest, gdy wszystkie jego podciągi dążą do tej samej granicy.
To za mało. Aby zaprzeczyć założeniu i tym samym zakończyć dowód \(\displaystyle{ \Leftarrow}\), powinieneś skonstruować ciąg rozbieżny, który ma dokładnie jeden punkt skupienia. Nie wystarczy, żeby miał jakiś punkt skupienia, bo to nie wyklucza, że ma ich więcej.Unforg1ven pisze:Dowód \(\displaystyle{ \Leftarrow}\)
[...] Skontrujemy, taki ciąg, że ma podciąg zbieżny(ma punkt skupienia) ale sam ciąg jest rozbieżny.
Nie piszesz, który podciąg jest stały (zapewne masz na myśli \(\displaystyle{ a_{2n}}\)), ale jak dopiszesz, to otrzymasz, że \(\displaystyle{ x_5}\) jest punktem skupienia.Unforg1ven pisze:Podciąg jest stały zatem ma punkt skupienia w \(\displaystyle{ x_k}\)
Ta część jest chaotyczna. Rozbieżność ciągu \(\displaystyle{ x_n}\) uzasadniłeś już wcześniej, a przytoczonego twierdzenia powinieneś tu użyć do pokazania rozbieżności ciągu \(\displaystyle{ a_n}\), poprzez wskazanie w nim rozbieżnego podciągu \(\displaystyle{ x_{2n-1} = a_{2n-1}}\). Przy okazji, gdy napisze się to w ten sposób, to widać, że ważna jest nie rozbieżność samego ciągu \(\displaystyle{ x_n}\), tylko podciągu \(\displaystyle{ x_{2n-1}}\), ale to na szczęście wiemy z założenia, że każdy podciąg ciągu \(\displaystyle{ x_n}\) jest rozbieżny.Unforg1ven pisze:ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest rozbieżny, bo ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) nie podciągu zbieżnego,zatem jest rozbieżny znowu z twierdzenia że ciąg jest zbieżny tylko wtedy kiedy wszystkie jego podciągi są zbieżne do tej samej granicy
A skąd to nagle wywnioskowałeś?Unforg1ven pisze:zatem dla każdego ciągu da się utworzyć podciąg zbieżny. Sprzeczność.
Po naprawieniu powyższych usterek pozostanie do pokazania, że \(\displaystyle{ a_n}\) nie ma żadnego punktu skupienia poza \(\displaystyle{ x_5}\). Wtedy dowód \(\displaystyle{ \Leftarrow}\) zostanie zakończony przez wskazanie sprzeczności z założeniem, że każdy ciąg mający dokładnie jeden punkt skupienia jest zbieżny. Podpowiedź do tej części: ustal dowolny punkt skupienia tego ciągu i rozważ związany z nim podciąg \(\displaystyle{ a_{n_k}}\). Następnie rozpatrz dwa przypadki: kiedy nieskończenie wiele spośród indeksów \(\displaystyle{ n_k}\) jest nieparzystych oraz kiedy prawie wszystkie są parzyste.
I jeszcze drobna uwaga - z powodu interpunkcji nie byłem do końca pewien, czy powyższy podział cytatu na części jest zgodny z jego strukturą logiczną. Jeśli chcesz, żeby Twoje dowody były czytelne, musisz między innymi stosować poprawną interpunkcję.
To nie ma sensu. Przecież wskazówka odnosiła się do kierunku \(\displaystyle{ \Leftarrow}\)...Unforg1ven pisze:Dówód w \(\displaystyle{ \Rightarrow}\)
Zauważmy że wystarczy wykazać wskazówkę żeby wykazać tą implikację, ponieważ jeżeli każdy ciąg ma punkt skupienia w szczególności z definicji punktu skupienia, można wybrać podciąg zbieżny do tego punktu, oraz jeśli jest zbieżny to musi być zbieżny do punktu z tejże przestrzeni, co jest równoważne ciągowej zwartości.
Powtarzam pytanie: jakiej tezie zaprzeczasz w tym miejscu?Unforg1ven pisze:Kolejny dowód nie wprost.
Załóżmy, że istnieje ciąg nie posiadający lub posiadający więcej niż jeden punkty skupienia,który jest zbieżny.
Jakim założeniem? Przecież podobno to jest dowód \(\displaystyle{ \Rightarrow}\).Unforg1ven pisze:Jeśli ciąg nie ma punktów skupienia, to możemy przy jego użyciu skonstruować ciąg rozbieżny, który ma dokładnie jeden punkt skupienia, co daje sprzeczność z założeniem.