Wykazać, że X jest p. metryczną zwartą wtedy i tylko..

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Wykazać, że X jest p. metryczną zwartą wtedy i tylko..

Post autor: Dasio11 »

Unforg1ven pisze:Zatem istnieje ciąg, \(\displaystyle{ (x_n)}\) elementów, bez podciągu zbieżnego, zatem ten ciąg jest rozbieżny, z tw. podciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy jest, gdy wszystkie jego podciągi dążą do tej samej granicy.
Argument dotyczący rozbieżności ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest poprawny, ale można prościej: \(\displaystyle{ x_n}\) jest swoim własnym podciągiem, a skoro każdy jego podciąg jest rozbieżny, to \(\displaystyle{ x_n}\) jest rozbieżny jako jeden z takich podciągów.
Unforg1ven pisze:Dowód \(\displaystyle{ \Leftarrow}\)
[...] Skontrujemy, taki ciąg, że ma podciąg zbieżny(ma punkt skupienia) ale sam ciąg jest rozbieżny.
To za mało. Aby zaprzeczyć założeniu i tym samym zakończyć dowód \(\displaystyle{ \Leftarrow}\), powinieneś skonstruować ciąg rozbieżny, który ma dokładnie jeden punkt skupienia. Nie wystarczy, żeby miał jakiś punkt skupienia, bo to nie wyklucza, że ma ich więcej.
Unforg1ven pisze:Podciąg jest stały zatem ma punkt skupienia w \(\displaystyle{ x_k}\)
Nie piszesz, który podciąg jest stały (zapewne masz na myśli \(\displaystyle{ a_{2n}}\)), ale jak dopiszesz, to otrzymasz, że \(\displaystyle{ x_5}\) jest punktem skupienia.
Unforg1ven pisze:ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest rozbieżny, bo ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) nie podciągu zbieżnego,zatem jest rozbieżny znowu z twierdzenia że ciąg jest zbieżny tylko wtedy kiedy wszystkie jego podciągi są zbieżne do tej samej granicy
Ta część jest chaotyczna. Rozbieżność ciągu \(\displaystyle{ x_n}\) uzasadniłeś już wcześniej, a przytoczonego twierdzenia powinieneś tu użyć do pokazania rozbieżności ciągu \(\displaystyle{ a_n}\), poprzez wskazanie w nim rozbieżnego podciągu \(\displaystyle{ x_{2n-1} = a_{2n-1}}\). Przy okazji, gdy napisze się to w ten sposób, to widać, że ważna jest nie rozbieżność samego ciągu \(\displaystyle{ x_n}\), tylko podciągu \(\displaystyle{ x_{2n-1}}\), ale to na szczęście wiemy z założenia, że każdy podciąg ciągu \(\displaystyle{ x_n}\) jest rozbieżny.
Unforg1ven pisze:zatem dla każdego ciągu da się utworzyć podciąg zbieżny. Sprzeczność.
A skąd to nagle wywnioskowałeś?

Po naprawieniu powyższych usterek pozostanie do pokazania, że \(\displaystyle{ a_n}\) nie ma żadnego punktu skupienia poza \(\displaystyle{ x_5}\). Wtedy dowód \(\displaystyle{ \Leftarrow}\) zostanie zakończony przez wskazanie sprzeczności z założeniem, że każdy ciąg mający dokładnie jeden punkt skupienia jest zbieżny. Podpowiedź do tej części: ustal dowolny punkt skupienia tego ciągu i rozważ związany z nim podciąg \(\displaystyle{ a_{n_k}}\). Następnie rozpatrz dwa przypadki: kiedy nieskończenie wiele spośród indeksów \(\displaystyle{ n_k}\) jest nieparzystych oraz kiedy prawie wszystkie są parzyste.

I jeszcze drobna uwaga - z powodu interpunkcji nie byłem do końca pewien, czy powyższy podział cytatu na części jest zgodny z jego strukturą logiczną. Jeśli chcesz, żeby Twoje dowody były czytelne, musisz między innymi stosować poprawną interpunkcję.

Unforg1ven pisze:Dówód w \(\displaystyle{ \Rightarrow}\)
Zauważmy że wystarczy wykazać wskazówkę żeby wykazać tą implikację, ponieważ jeżeli każdy ciąg ma punkt skupienia w szczególności z definicji punktu skupienia, można wybrać podciąg zbieżny do tego punktu, oraz jeśli jest zbieżny to musi być zbieżny do punktu z tejże przestrzeni, co jest równoważne ciągowej zwartości.
To nie ma sensu. Przecież wskazówka odnosiła się do kierunku \(\displaystyle{ \Leftarrow}\)...
Unforg1ven pisze:Kolejny dowód nie wprost.
Załóżmy, że istnieje ciąg nie posiadający lub posiadający więcej niż jeden punkty skupienia,który jest zbieżny.
Powtarzam pytanie: jakiej tezie zaprzeczasz w tym miejscu?
Unforg1ven pisze:Jeśli ciąg nie ma punktów skupienia, to możemy przy jego użyciu skonstruować ciąg rozbieżny, który ma dokładnie jeden punkt skupienia, co daje sprzeczność z założeniem.
Jakim założeniem? Przecież podobno to jest dowód \(\displaystyle{ \Rightarrow}\).
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 308
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 104 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Wykazać, że X jest p. metryczną zwartą wtedy i tylko..

Post autor: Unforg1ven »

Dobra jeszcze jedna próba do tego zadania...

Dla czystości dowodu zapiszę lemat 1 :
Podciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy jest, gdy wszystkie jego podciągi dążą do tej samej granicy.

Dowód Nie wprost \(\displaystyle{ \Leftarrow}\)
Zakładamy, że przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) nie jest zwarta.Zatem istnieje ciąg,\(\displaystyle{ (x_n)}\) elementów, bez podciągu zbieżnego, zatem ten ciąg jest rozbieżny z lematu 1. [Wniosek (2)]

Żeby zaprzeczyć tezie skontrujemy, taki ciągu że ma ,jakiś punkt skupienia ale sam ciąg jest rozbieżny, oraz pokażemy że ma dokładnie jeden punkt skupienia(czyli nie istnieje podciąg zbieżny do innego punktu)


Bierzemy rozbieżny ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\)
Ustalamy jakieś \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\) np. \(\displaystyle{ k=5}\)
Niech \(\displaystyle{ a_n=x_k,}\) kiedy \(\displaystyle{ n=2l}\), \(\displaystyle{ l\in\mathh{N}}\)
oraz \(\displaystyle{ a_n=x_n}\) w pozostałych przypadkach.

Zatem podciąg \(\displaystyle{ a_{2n}}\) jest stały, zatem punktem skupienia jest \(\displaystyle{ x_5}\).

Trzeba pokazać że ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) nie posiada innego punktu skupienia niż \(\displaystyle{ x_5}\) (2)

Dowód nie wprost (3)
Załóżmy że istnieje inny punkt skupienia niż \(\displaystyle{ x_5}\). .
Zatem istnieje podciąg \(\displaystyle{ a_{n_{k}}}\) zbieżny do tego punktu.

Wolno nam rozważać podciągi o skończonej liczbie wyrazów typu \(\displaystyle{ a_{2k}}\) ,gdyż jeżeli posiada nieskończoną liczbę tego rodzaju wyrazów to albo posiada granicę w \(\displaystyle{ x_5}\) albo jest rozbieżny(4).
(4) Dowód nie wprost.
Zakładając że ma granicę w innym punkcie niż \(\displaystyle{ x_5}\) , dostajemy sprzeczność od razu na mocy lematu (1), gdyż można utworzyć podciąg zbieżny do \(\displaystyle{ x_5}\), a nie jest zbieżny do \(\displaystyle{ x_5}\)

Skoro mamy skończoną liczbę wyrazów typu \(\displaystyle{ a_{2k}}\) to od pewnego miejsca podciągi przyjmuje tylko wyrazy typu \(\displaystyle{ a_2k+1}\).
Pokazaliśmy że prawie wszystkie, \(\displaystyle{ {n_{k}}}\) muszą być nieparzyste ,zatem ich nieskończenie wiele zatem ciąg \(\displaystyle{ a_{n_{k}}}\) jest rozbieżny na mocy lematu 1 bo można utworzyć podciąg rozbieżny biorąc nieparzyste \(\displaystyle{ n_k}\). Sprzeczność. Dostajemy dowód (3).

Co kończy dowód poprzez sprzeczność z wnioskiem (2). Uff......

Muszę pomyśleć nad dowodem \(\displaystyle{ \Rightarrow}\)

-- 8 sty 2019, o 21:35 --
Unforg1ven pisze:Dobra jeszcze jedna próba do tego zadania...

Dla czystości dowodu zapiszę lemat 1 :
Podciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy jest, gdy wszystkie jego podciągi dążą do tej samej granicy.

Dowód Nie wprost \(\displaystyle{ \Leftarrow}\)
Zakładamy, że przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) nie jest zwarta.Zatem istnieje ciąg,\(\displaystyle{ (x_n)}\) elementów, bez podciągu zbieżnego, zatem ten ciąg jest rozbieżny z lematu 1. [Wniosek (2)]

Żeby zaprzeczyć tezie skontrujemy, taki ciągu że ma ,jakiś punkt skupienia ale sam ciąg jest rozbieżny, oraz pokażemy że ma dokładnie jeden punkt skupienia(czyli nie istnieje podciąg zbieżny do innego punktu)


Bierzemy rozbieżny ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\)
Ustalamy jakieś \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\) np. \(\displaystyle{ k=5}\)
Niech \(\displaystyle{ a_n=x_k,}\) kiedy \(\displaystyle{ n=2l}\), \(\displaystyle{ l\in\mathh{N}}\)
oraz \(\displaystyle{ a_n=x_n}\) w pozostałych przypadkach.

Zatem podciąg \(\displaystyle{ a_{2n}}\) jest stały, zatem punktem skupienia jest \(\displaystyle{ x_5}\).

Trzeba pokazać że ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) nie posiada innego punktu skupienia niż \(\displaystyle{ x_5}\) (2)

Dowód nie wprost (3)
Załóżmy że istnieje inny punkt skupienia niż \(\displaystyle{ x_5}\). .
Zatem istnieje podciąg \(\displaystyle{ a_{n_{k}}}\) zbieżny do tego punktu.

Wolno nam rozważać podciągi o skończonej liczbie wyrazów typu \(\displaystyle{ a_{2k}}\) ,gdyż jeżeli posiada nieskończoną liczbę tego rodzaju wyrazów to albo posiada granicę w \(\displaystyle{ x_5}\) albo jest rozbieżny(4).
(4) Dowód nie wprost.
Zakładając że ma granicę w innym punkcie niż \(\displaystyle{ x_5}\) , dostajemy sprzeczność od razu na mocy lematu (1), gdyż można utworzyć podciąg zbieżny do \(\displaystyle{ x_5}\), a nie jest zbieżny do \(\displaystyle{ x_5}\)

Skoro mamy skończoną liczbę wyrazów typu \(\displaystyle{ a_{2k}}\) to od pewnego miejsca podciągi przyjmuje tylko wyrazy typu \(\displaystyle{ a_2k+1}\).
Pokazaliśmy że prawie wszystkie, \(\displaystyle{ {n_{k}}}\) muszą być nieparzyste ,zatem ich nieskończenie wiele zatem ciąg \(\displaystyle{ a_{n_{k}}}\) jest rozbieżny na mocy lematu 1 bo można utworzyć podciąg rozbieżny biorąc nieparzyste \(\displaystyle{ n_k}\). Sprzeczność. Dostajemy dowód (3).

Co kończy dowód poprzez sprzeczność z wnioskiem (2). Uff......

Muszę pomyśleć nad dowodem \(\displaystyle{ \Rightarrow}\)
-- 8 sty 2019, o 21:48 --Nie wiem jak to zrobiłem ale sam się zacytowałem a teraz nie mogę tego edytować z powrotem.
ODPOWIEDZ