Ciąg punktów skupienia
-
- Użytkownik
- Posty: 236
- Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Siedliska
- Podziękował: 19 razy
Ciąg punktów skupienia
Niech \(\displaystyle{ C}\) będzie zbiorem punktów skupienia ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\). Niech \(\displaystyle{ c_{n}}\)
będzie ciągiem zbieżnym do granicy \(\displaystyle{ c}\), którego wszystkie wyrazy należą do \(\displaystyle{ C}\).
Udowodnij, że \(\displaystyle{ c \in C}\).
będzie ciągiem zbieżnym do granicy \(\displaystyle{ c}\), którego wszystkie wyrazy należą do \(\displaystyle{ C}\).
Udowodnij, że \(\displaystyle{ c \in C}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 236
- Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Siedliska
- Podziękował: 19 razy
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Ciąg punktów skupienia
\(\displaystyle{ a \in \overline{A \setminus \left\{ a\right\} }}\)
\(\displaystyle{ A}\) - zbiór punktów ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\)
\(\displaystyle{ a}\) - punkt skupienia ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\)
Zbiór punktów skupienia jest zbiorem domkniętym stąd teza...
\(\displaystyle{ A}\) - zbiór punktów ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\)
\(\displaystyle{ a}\) - punkt skupienia ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\)
Zbiór punktów skupienia jest zbiorem domkniętym stąd teza...
-
- Użytkownik
- Posty: 236
- Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Siedliska
- Podziękował: 19 razy
Re: Ciąg punktów skupienia
Dlaczego zbiór punktów skupienia jest zbiorem domkniętym? Czy jest to niezaprzeczalny fakt wynikający z definicji punktu skupienia, lub czegoś innego?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Ciąg punktów skupienia
arek1357 pisze:\(\displaystyle{ a \in \overline{A \setminus \left\{ a\right\} }}\)
Zbiór punktów skupienia jest zbiorem domkniętym stąd teza...
Ani pierwsze stwierdzenie nie musi być prawdziwe, ani nie wynika z niego domkniętość zbioru \(\displaystyle{ A}\).arek1357 pisze:Wynika to z powyższego pierwszego faktu co napisałem u góry...
-
- Użytkownik
- Posty: 236
- Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Siedliska
- Podziękował: 19 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 236
- Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Siedliska
- Podziękował: 19 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 236
- Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Siedliska
- Podziękował: 19 razy
Re: Ciąg punktów skupienia
No dobrze, ale jakieś uzasadnienie tego faktu? Oprócz takiego, że jest to oczywiste
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Ciąg punktów skupienia
a jest elementem zbioru punktów skupienia zbioru A( zbiór elementów ciągu)...-- 5 grudnia 2018, 01:10 --
Jeśli nie będzie prawdziwe to a nie będzie punktem skupienia zbioru Apierwsze stwierdzenie nie musi być prawdziwe
-
- Użytkownik
- Posty: 286
- Rejestracja: 21 sie 2014, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 30 razy
Ciąg punktów skupienia
Skoro elementy \(\displaystyle{ c_n}\) są punktami skupienia ciągu \(\displaystyle{ a_n}\)
To dla każdego \(\displaystyle{ n}\) możemy określić silnie rosnący ciąg \(\displaystyle{ n_k}\) taki że podciąg
\(\displaystyle{ a_{n_k}}\) będzie zbieżny do \(\displaystyle{ c_n}\)
Ponieważ mowa o zbieżności to jest to p. metryczna zatem dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ \epsilon}\)
\(\displaystyle{ d(a_{n_k}, c_n)<\frac{\epsilon}{2}}\) dla \(\displaystyle{ k>K(n,\epsilon )\in\mathbb{N}}\)
Ze zbieżności \(\displaystyle{ c_n}\) do \(\displaystyle{ c}\) mamy dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ \epsilon}\)
\(\displaystyle{ d(c_{n}, c)<\frac{\epsilon}{2}}\) dla \(\displaystyle{ n>N(\epsilon)\in\mathbb{N}}\)
Określmy teraz taki podciąg ciągu \(\displaystyle{ a_n}\)
\(\displaystyle{ a_{n_{k(n)}}}\), że \(\displaystyle{ k(n)>K(n)}\) oraz \(\displaystyle{ n>N(\epsilon)}\)
mamy z tego
\(\displaystyle{ d(a_{n_{k(n)}},c)<d(a_{n_{k(n)}},c_n)+d(c_n,c)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon}\)
A więc dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon}\) możemy określić taki podciąg ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) który będzie zbieżny do \(\displaystyle{ c}\).
To dla każdego \(\displaystyle{ n}\) możemy określić silnie rosnący ciąg \(\displaystyle{ n_k}\) taki że podciąg
\(\displaystyle{ a_{n_k}}\) będzie zbieżny do \(\displaystyle{ c_n}\)
Ponieważ mowa o zbieżności to jest to p. metryczna zatem dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ \epsilon}\)
\(\displaystyle{ d(a_{n_k}, c_n)<\frac{\epsilon}{2}}\) dla \(\displaystyle{ k>K(n,\epsilon )\in\mathbb{N}}\)
Ze zbieżności \(\displaystyle{ c_n}\) do \(\displaystyle{ c}\) mamy dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ \epsilon}\)
\(\displaystyle{ d(c_{n}, c)<\frac{\epsilon}{2}}\) dla \(\displaystyle{ n>N(\epsilon)\in\mathbb{N}}\)
Określmy teraz taki podciąg ciągu \(\displaystyle{ a_n}\)
\(\displaystyle{ a_{n_{k(n)}}}\), że \(\displaystyle{ k(n)>K(n)}\) oraz \(\displaystyle{ n>N(\epsilon)}\)
mamy z tego
\(\displaystyle{ d(a_{n_{k(n)}},c)<d(a_{n_{k(n)}},c_n)+d(c_n,c)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon}\)
A więc dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon}\) możemy określić taki podciąg ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) który będzie zbieżny do \(\displaystyle{ c}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 236
- Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Siedliska
- Podziękował: 19 razy
Re: Ciąg punktów skupienia
To zadanie trzeba zrobić raczej nie posuwając się do własności przestrzeni metrycznych. To jest zadanie z 1 roku analizy.