Ciąg punktów skupienia

TorrhenMathMeth · Post autor: **TorrhenMathMeth** » 3 gru 2018, o 18:26

Niech \(\displaystyle{ C}\) będzie zbiorem punktów skupienia ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\). Niech \(\displaystyle{ c_{n}}\)
będzie ciągiem zbieżnym do granicy \(\displaystyle{ c}\), którego wszystkie wyrazy należą do \(\displaystyle{ C}\).
Udowodnij, że \(\displaystyle{ c \in C}\).

Premislav · Post autor: **Premislav** » 3 gru 2018, o 18:49

Zadanie nadaje się raczej do działu Topologia.

TorrhenMathMeth · Post autor: **TorrhenMathMeth** » 3 gru 2018, o 18:54

Jest to praca domowa z analizy, na poziomie 1 roku.

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 3 gru 2018, o 19:21

\(\displaystyle{ a \in \overline{A \setminus \left\{ a\right\} }}\)

\(\displaystyle{ A}\) - zbiór punktów ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\)

\(\displaystyle{ a}\) - punkt skupienia ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\)

Zbiór punktów skupienia jest zbiorem domkniętym stąd teza...

TorrhenMathMeth · Post autor: **TorrhenMathMeth** » 3 gru 2018, o 19:52

Dlaczego zbiór punktów skupienia jest zbiorem domkniętym? Czy jest to niezaprzeczalny fakt wynikający z definicji punktu skupienia, lub czegoś innego?

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 3 gru 2018, o 22:57

Wynika to z powyższego pierwszego faktu co napisałem u góry...

Post autor: **Dasio11** » 4 gru 2018, o 09:37

arek1357 pisze:\(\displaystyle{ a \in \overline{A \setminus \left\{ a\right\} }}\)
Zbiór punktów skupienia jest zbiorem domkniętym stąd teza...

arek1357 pisze:Wynika to z powyższego pierwszego faktu co napisałem u góry...

Ani pierwsze stwierdzenie nie musi być prawdziwe, ani nie wynika z niego domkniętość zbioru \(\displaystyle{ A}\).

TorrhenMathMeth · Post autor: **TorrhenMathMeth** » 4 gru 2018, o 17:37

To w takim razie z czego wynika domkniętość tego zbioru?

Post autor: **Dasio11** » 4 gru 2018, o 19:37

Jak definiujecie punkt skupienia ciągu?

TorrhenMathMeth · Post autor: **TorrhenMathMeth** » 4 gru 2018, o 21:04

Jako granicę podciągu zbieżnego tego ciągu.

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 4 gru 2018, o 23:54

Dalej uważam, że zbiór punktów skupienia jest domknięty nie ma innej opcji...

TorrhenMathMeth · Post autor: **TorrhenMathMeth** » 4 gru 2018, o 23:56

No dobrze, ale jakieś uzasadnienie tego faktu? Oprócz takiego, że jest to oczywiste

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 5 gru 2018, o 00:03

a jest elementem zbioru punktów skupienia zbioru A( zbiór elementów ciągu)...-- 5 grudnia 2018, 01:10 --

pierwsze stwierdzenie nie musi być prawdziwe

Jeśli nie będzie prawdziwe to a nie będzie punktem skupienia zbioru A

Kordyt · Post autor: **Kordyt** » 5 gru 2018, o 09:54

Skoro elementy \(\displaystyle{ c_n}\) są punktami skupienia ciągu \(\displaystyle{ a_n}\)
To dla każdego \(\displaystyle{ n}\) możemy określić silnie rosnący ciąg \(\displaystyle{ n_k}\) taki że podciąg

\(\displaystyle{ a_{n_k}}\) będzie zbieżny do \(\displaystyle{ c_n}\)

Ponieważ mowa o zbieżności to jest to p. metryczna zatem dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ \epsilon}\)

\(\displaystyle{ d(a_{n_k}, c_n)<\frac{\epsilon}{2}}\) dla \(\displaystyle{ k>K(n,\epsilon )\in\mathbb{N}}\)

Ze zbieżności \(\displaystyle{ c_n}\) do \(\displaystyle{ c}\) mamy dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ \epsilon}\)

\(\displaystyle{ d(c_{n}, c)<\frac{\epsilon}{2}}\) dla \(\displaystyle{ n>N(\epsilon)\in\mathbb{N}}\)

Określmy teraz taki podciąg ciągu \(\displaystyle{ a_n}\)

\(\displaystyle{ a_{n_{k(n)}}}\), że \(\displaystyle{ k(n)>K(n)}\) oraz \(\displaystyle{ n>N(\epsilon)}\)

mamy z tego

\(\displaystyle{ d(a_{n_{k(n)}},c)<d(a_{n_{k(n)}},c_n)+d(c_n,c)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon}\)

A więc dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon}\) możemy określić taki podciąg ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) który będzie zbieżny do \(\displaystyle{ c}\).

TorrhenMathMeth · Post autor: **TorrhenMathMeth** » 5 gru 2018, o 10:00

To zadanie trzeba zrobić raczej nie posuwając się do własności przestrzeni metrycznych. To jest zadanie z 1 roku analizy.

Matematyka.pl