Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ (x_{n})}\) będzie ciągiem w przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ (X,d)}\). Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ \lim d(x_n,a)=+\infty}\), dla pewnego \(\displaystyle{ a\in X}\) to zbiór wyrazów ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest domknięty.
Rozumiem, że trzeba wykazać że dowolny podzbiór wartości \(\displaystyle{ (x_n)}\) dąży do pewnego \(\displaystyle{ x_m}\), gdzie \(\displaystyle{ x_m}\) należy do zbioru wartości \(\displaystyle{ (x_n)}\) i jednocześnie nie należy do tego podzbioru.
Ale po zapisaniu definicji tego co powiedziałem nie za bardzo mam pomysł jak to dalej pociągnąć.

Najprościej pokazać, że dopełnienie jest otwarte. Ustalmy więc dowolny punkt \(\displaystyle{ y \in X}\), który nie jest wyrazem tego ciągu. Istnieje takie \(\displaystyle{ N}\), że dla \(\displaystyle{ n \ge N}\) mamy \(\displaystyle{ d(x_n, y) \ge 1}\) (dlaczego?). Aby więc wskazać kulę otwartą wokół \(\displaystyle{ y}\) rozłączną ze zbiorem wyrazów ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\), wystarczy wskazać taką, która ma promień \(\displaystyle{ \le 1}\) i która omija skończenie wiele wyrazów \(\displaystyle{ x_0, \ldots, x_{N-1}}\). Resztę zostawiam Tobie.

Dasio11 pisze:Istnieje takie \(\displaystyle{ N}\), że dla \(\displaystyle{ n \ge N}\) mamy \(\displaystyle{ d(x_n, y) \ge 1}\) (dlaczego?).

Nie jestem pewien prawidłowego dowodu tego kroku.
Z definicji ciągu rozbieżnego w jakieś przestrzeni metrycznej,mamy
\(\displaystyle{ \forall m\in\mathbb{R}; \exists N : \forall n>N, d(x_n,a)>m}\)
Z nierówności trójkąta mamy \(\displaystyle{ d(x_n,a )<d(x_n,y)+d(y,a)}\)
,ponieważ \(\displaystyle{ d(y,a)}\) jest ograniczone dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ y\in X}\)
,możemy tak dobrać nowe \(\displaystyle{ m'}\) aby
\(\displaystyle{ \forall m'>d(y,a)+1; \exists N' : \forall n'>N', d(x_{n'},a)>m'}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ 1+d(y,a)<m'<d(x_{n'},y)+d(y,a) \Rightarrow 1<d(x_{n'},y)}\)
Dalej, muszę jeszcze zapisać formalnie,ale jak jest ich skończona ilość to dla każdego punktu można wziąć kulę z minimum odległości od nich, i ona na pewno będzie nie przecinała z każdym z nich. Zatem każdy punkt wchodzi z kulą, zatem dopełnienie jest otwarte zatem zbiór wartości ciągów jest domknięty.

Unforg1ven pisze:Nie jestem pewien prawidłowego dowodu tego kroku.
[...]
,możemy tak dobrać nowe \(\displaystyle{ m'}\) aby
\(\displaystyle{ \forall m'>d(y,a)+1; \exists N' : \forall n'>N', d(x_{n'},a)>m'}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ 1+d(y,a)<m'<d(x_{n'},y)+d(y,a) \Rightarrow 1<d(x_{n'},y)}\)

Dobrze, tylko w powyższym miejscu zamiast pisać \(\displaystyle{ \forall m' > d(y, a) + 1 \ldots}\) trzeba po prostu wziąć \(\displaystyle{ m = d(y, a) + 1}\) jako to wcześniejsze \(\displaystyle{ m}\).

Unforg1ven pisze:Dalej, muszę jeszcze zapisać formalnie,ale jak jest ich skończona ilość to dla każdego punktu można wziąć kulę z minimum odległości od nich, i ona na pewno będzie nie przecinała z każdym z nich. Zatem każdy punkt wchodzi z kulą, zatem dopełnienie jest otwarte zatem zbiór wartości ciągów jest domknięty.

Idea jest dobra.

A może tak:
1. ciąg zbieżny jest ograniczony.
2. w każdym zbiorze ograniczonym jest co najwyżej skończenie wiele wyrazów ciągu \(\displaystyle{ x_n}\)