Wykazać że zbiór wyrazów ciągu jest domknięty

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 306
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 104 razy
Pomógł: 5 razy

Wykazać że zbiór wyrazów ciągu jest domknięty

Post autor: Unforg1ven » 2 gru 2018, o 15:49

Niech \(\displaystyle{ (x_{n})}\) będzie ciągiem w przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ (X,d)}\). Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ \lim d(x_n,a)=+\infty}\), dla pewnego \(\displaystyle{ a\in X}\) to zbiór wyrazów ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest domknięty.
Rozumiem, że trzeba wykazać że dowolny podzbiór wartości \(\displaystyle{ (x_n)}\) dąży do pewnego \(\displaystyle{ x_m}\), gdzie \(\displaystyle{ x_m}\) należy do zbioru wartości \(\displaystyle{ (x_n)}\) i jednocześnie nie należy do tego podzbioru.
Ale po zapisaniu definicji tego co powiedziałem nie za bardzo mam pomysł jak to dalej pociągnąć.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9083
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1959 razy

Re: Wykazać że zbiór wyrazów ciągu jest domknięty

Post autor: Dasio11 » 2 gru 2018, o 22:32

Najprościej pokazać, że dopełnienie jest otwarte. Ustalmy więc dowolny punkt \(\displaystyle{ y \in X}\), który nie jest wyrazem tego ciągu. Istnieje takie \(\displaystyle{ N}\), że dla \(\displaystyle{ n \ge N}\) mamy \(\displaystyle{ d(x_n, y) \ge 1}\) (dlaczego?). Aby więc wskazać kulę otwartą wokół \(\displaystyle{ y}\) rozłączną ze zbiorem wyrazów ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\), wystarczy wskazać taką, która ma promień \(\displaystyle{ \le 1}\) i która omija skończenie wiele wyrazów \(\displaystyle{ x_0, \ldots, x_{N-1}}\). Resztę zostawiam Tobie.

Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 306
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 104 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Wykazać że zbiór wyrazów ciągu jest domknięty

Post autor: Unforg1ven » 3 gru 2018, o 19:09

Dasio11 pisze:Istnieje takie \(\displaystyle{ N}\), że dla \(\displaystyle{ n \ge N}\) mamy \(\displaystyle{ d(x_n, y) \ge 1}\) (dlaczego?).
Nie jestem pewien prawidłowego dowodu tego kroku.
Z definicji ciągu rozbieżnego w jakieś przestrzeni metrycznej,mamy
\(\displaystyle{ \forall m\in\mathbb{R}; \exists N : \forall n>N, d(x_n,a)>m}\)
Z nierówności trójkąta mamy \(\displaystyle{ d(x_n,a )<d(x_n,y)+d(y,a)}\)
,ponieważ \(\displaystyle{ d(y,a)}\) jest ograniczone dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ y\in X}\)
,możemy tak dobrać nowe \(\displaystyle{ m'}\) aby
\(\displaystyle{ \forall m'>d(y,a)+1; \exists N' : \forall n'>N', d(x_{n'},a)>m'}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ 1+d(y,a)<m'<d(x_{n'},y)+d(y,a) \Rightarrow 1<d(x_{n'},y)}\)
Dalej, muszę jeszcze zapisać formalnie,ale jak jest ich skończona ilość to dla każdego punktu można wziąć kulę z minimum odległości od nich, i ona na pewno będzie nie przecinała z każdym z nich. Zatem każdy punkt wchodzi z kulą, zatem dopełnienie jest otwarte zatem zbiór wartości ciągów jest domknięty.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9083
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1959 razy

Re: Wykazać że zbiór wyrazów ciągu jest domknięty

Post autor: Dasio11 » 3 gru 2018, o 23:22

Unforg1ven pisze:Nie jestem pewien prawidłowego dowodu tego kroku.
[...]
,możemy tak dobrać nowe \(\displaystyle{ m'}\) aby
\(\displaystyle{ \forall m'>d(y,a)+1; \exists N' : \forall n'>N', d(x_{n'},a)>m'}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ 1+d(y,a)<m'<d(x_{n'},y)+d(y,a) \Rightarrow 1<d(x_{n'},y)}\)
Dobrze, tylko w powyższym miejscu zamiast pisać \(\displaystyle{ \forall m' > d(y, a) + 1 \ldots}\) trzeba po prostu wziąć \(\displaystyle{ m = d(y, a) + 1}\) jako to wcześniejsze \(\displaystyle{ m}\).
Unforg1ven pisze:Dalej, muszę jeszcze zapisać formalnie,ale jak jest ich skończona ilość to dla każdego punktu można wziąć kulę z minimum odległości od nich, i ona na pewno będzie nie przecinała z każdym z nich. Zatem każdy punkt wchodzi z kulą, zatem dopełnienie jest otwarte zatem zbiór wartości ciągów jest domknięty.
Idea jest dobra.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18273
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3084 razy

Re: Wykazać że zbiór wyrazów ciągu jest domknięty

Post autor: a4karo » 4 gru 2018, o 00:06

A może tak:
1. ciąg zbieżny jest ograniczony.
2. w każdym zbiorze ograniczonym jest co najwyżej skończenie wiele wyrazów ciągu \(\displaystyle{ x_n}\)

ODPOWIEDZ