Wykazać że zbiór wyrazów ciągu jest domknięty

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 305
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 103 razy
Pomógł: 5 razy

Wykazać że zbiór wyrazów ciągu jest domknięty

Post autor: Unforg1ven » 2 gru 2018, o 15:49

Niech \(\displaystyle{ (x_{n})}\) będzie ciągiem w przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ (X,d)}\). Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ \lim d(x_n,a)=+\infty}\), dla pewnego \(\displaystyle{ a\in X}\) to zbiór wyrazów ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest domknięty.
Rozumiem, że trzeba wykazać że dowolny podzbiór wartości \(\displaystyle{ (x_n)}\) dąży do pewnego \(\displaystyle{ x_m}\), gdzie \(\displaystyle{ x_m}\) należy do zbioru wartości \(\displaystyle{ (x_n)}\) i jednocześnie nie należy do tego podzbioru.
Ale po zapisaniu definicji tego co powiedziałem nie za bardzo mam pomysł jak to dalej pociągnąć.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8577
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1798 razy

Re: Wykazać że zbiór wyrazów ciągu jest domknięty

Post autor: Dasio11 » 2 gru 2018, o 22:32

Najprościej pokazać, że dopełnienie jest otwarte. Ustalmy więc dowolny punkt \(\displaystyle{ y \in X}\), który nie jest wyrazem tego ciągu. Istnieje takie \(\displaystyle{ N}\), że dla \(\displaystyle{ n \ge N}\) mamy \(\displaystyle{ d(x_n, y) \ge 1}\) (dlaczego?). Aby więc wskazać kulę otwartą wokół \(\displaystyle{ y}\) rozłączną ze zbiorem wyrazów ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\), wystarczy wskazać taką, która ma promień \(\displaystyle{ \le 1}\) i która omija skończenie wiele wyrazów \(\displaystyle{ x_0, \ldots, x_{N-1}}\). Resztę zostawiam Tobie.

Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 305
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 103 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Wykazać że zbiór wyrazów ciągu jest domknięty

Post autor: Unforg1ven » 3 gru 2018, o 19:09

Dasio11 pisze:Istnieje takie \(\displaystyle{ N}\), że dla \(\displaystyle{ n \ge N}\) mamy \(\displaystyle{ d(x_n, y) \ge 1}\) (dlaczego?).
Nie jestem pewien prawidłowego dowodu tego kroku.
Z definicji ciągu rozbieżnego w jakieś przestrzeni metrycznej,mamy
\(\displaystyle{ \forall m\in\mathbb{R}; \exists N : \forall n>N, d(x_n,a)>m}\)
Z nierówności trójkąta mamy \(\displaystyle{ d(x_n,a )<d(x_n,y)+d(y,a)}\)
,ponieważ \(\displaystyle{ d(y,a)}\) jest ograniczone dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ y\in X}\)
,możemy tak dobrać nowe \(\displaystyle{ m'}\) aby
\(\displaystyle{ \forall m'>d(y,a)+1; \exists N' : \forall n'>N', d(x_{n'},a)>m'}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ 1+d(y,a)<m'<d(x_{n'},y)+d(y,a) \Rightarrow 1<d(x_{n'},y)}\)
Dalej, muszę jeszcze zapisać formalnie,ale jak jest ich skończona ilość to dla każdego punktu można wziąć kulę z minimum odległości od nich, i ona na pewno będzie nie przecinała z każdym z nich. Zatem każdy punkt wchodzi z kulą, zatem dopełnienie jest otwarte zatem zbiór wartości ciągów jest domknięty.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8577
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1798 razy

Re: Wykazać że zbiór wyrazów ciągu jest domknięty

Post autor: Dasio11 » 3 gru 2018, o 23:22

Unforg1ven pisze:Nie jestem pewien prawidłowego dowodu tego kroku.
[...]
,możemy tak dobrać nowe \(\displaystyle{ m'}\) aby
\(\displaystyle{ \forall m'>d(y,a)+1; \exists N' : \forall n'>N', d(x_{n'},a)>m'}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ 1+d(y,a)<m'<d(x_{n'},y)+d(y,a) \Rightarrow 1<d(x_{n'},y)}\)
Dobrze, tylko w powyższym miejscu zamiast pisać \(\displaystyle{ \forall m' > d(y, a) + 1 \ldots}\) trzeba po prostu wziąć \(\displaystyle{ m = d(y, a) + 1}\) jako to wcześniejsze \(\displaystyle{ m}\).
Unforg1ven pisze:Dalej, muszę jeszcze zapisać formalnie,ale jak jest ich skończona ilość to dla każdego punktu można wziąć kulę z minimum odległości od nich, i ona na pewno będzie nie przecinała z każdym z nich. Zatem każdy punkt wchodzi z kulą, zatem dopełnienie jest otwarte zatem zbiór wartości ciągów jest domknięty.
Idea jest dobra.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17039
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 2866 razy

Re: Wykazać że zbiór wyrazów ciągu jest domknięty

Post autor: a4karo » 4 gru 2018, o 00:06

A może tak:
1. ciąg zbieżny jest ograniczony.
2. w każdym zbiorze ograniczonym jest co najwyżej skończenie wiele wyrazów ciągu \(\displaystyle{ x_n}\)

ODPOWIEDZ