Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesowej
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 12 gru 2015, o 18:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesowej
\(\displaystyle{ \mathbb{Z} \times \mathbb{Q}}\). Odpowiedź uzasadnij.
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 12 gru 2015, o 18:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
Re: Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesow
W przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) z topologią naturalną
-
- Administrator
- Posty: 34276
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesow
W \(\displaystyle{ \RR^n}\) to tylko dla \(\displaystyle{ n=2}\)...
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Re: Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesow
No to jaki masz problem z wnętrzem? Czy jesteś w stanie w tym zbiorze wskazać taki punkt, wraz z którym w zbiorze znajduje się jakieś małe kółko?
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 12 gru 2015, o 18:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesowej
Wnętrze to \(\displaystyle{ \emptyset}\) a domknięcie \(\displaystyle{ \mathbb{Z} \times \mathbb{R}}\). Tylko jest to podejście intuicyjne, a mi chodzi o bardziej formalny zapis.
-
- Administrator
- Posty: 34276
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesow
No to formalnie do wnętrza zastosuj tw. Baire'a.
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Re: Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesow
Czemu aż tak?Jan Kraszewski pisze:No to formalnie do wnętrza zastosuj tw. Baire'a.
JK
Ustalmy parę \(\displaystyle{ (x,y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Q}}\). Przypuśćmy, że istnieje \(\displaystyle{ r > 0}\) taki, że \(\displaystyle{ B((x,y), r) \subset \mathbb{Z} \times \mathbb{Q}}\). Niech \(\displaystyle{ x_0 = \min \left\{ \frac{1}{2}, \frac{r}{2} \right\}}\). Wówczas \(\displaystyle{ (x+x_0, y) \in B((x,y), r)}\), ale \(\displaystyle{ (x+x_0, y) \not\in \mathbb{Z} \times \mathbb{Q}}\), gdyż \(\displaystyle{ x+x_0 \not\in \mathbb{Z}}\). Zatem \(\displaystyle{ (x,y)}\) nie może leżeć we wnętrzu \(\displaystyle{ \mathbb{Z} \times \mathbb{Q}}\).
-
- Administrator
- Posty: 34276
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesow
A, taki odruch... Zbiór przeliczalny jest I kategorii Baire'a, więc z tw. Baire'a ma puste wnętrze. Ale oczywiście można elementarnie.bartek118 pisze:Czemu aż tak?
JK