Strona 1 z 1
Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesowej
: 2 gru 2018, o 12:19
autor: miki314
\(\displaystyle{ \mathbb{Z} \times \mathbb{Q}}\). Odpowiedź uzasadnij.
Re: Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesow
: 2 gru 2018, o 12:27
autor: bartek118
Domknięcie i wnętrze w jakiej przestrzeni?
Re: Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesow
: 2 gru 2018, o 12:34
autor: miki314
W przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) z topologią naturalną
Re: Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesow
: 2 gru 2018, o 17:17
autor: Jan Kraszewski
W \(\displaystyle{ \RR^n}\) to tylko dla \(\displaystyle{ n=2}\)...
JK
Re: Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesow
: 2 gru 2018, o 17:54
autor: bartek118
No to jaki masz problem z wnętrzem? Czy jesteś w stanie w tym zbiorze wskazać taki punkt, wraz z którym w zbiorze znajduje się jakieś małe kółko?
Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesowej
: 2 gru 2018, o 18:20
autor: miki314
Wnętrze to \(\displaystyle{ \emptyset}\) a domknięcie \(\displaystyle{ \mathbb{Z} \times \mathbb{R}}\). Tylko jest to podejście intuicyjne, a mi chodzi o bardziej formalny zapis.
Re: Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesow
: 2 gru 2018, o 18:31
autor: Jan Kraszewski
No to formalnie do wnętrza zastosuj tw. Baire'a.
JK
Re: Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesow
: 2 gru 2018, o 18:41
autor: bartek118
Jan Kraszewski pisze:No to formalnie do wnętrza zastosuj tw. Baire'a.
JK
Czemu aż tak?
Ustalmy parę
\(\displaystyle{ (x,y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Q}}\). Przypuśćmy, że istnieje
\(\displaystyle{ r > 0}\) taki, że
\(\displaystyle{ B((x,y), r) \subset \mathbb{Z} \times \mathbb{Q}}\). Niech
\(\displaystyle{ x_0 = \min \left\{ \frac{1}{2}, \frac{r}{2} \right\}}\). Wówczas
\(\displaystyle{ (x+x_0, y) \in B((x,y), r)}\), ale
\(\displaystyle{ (x+x_0, y) \not\in \mathbb{Z} \times \mathbb{Q}}\), gdyż
\(\displaystyle{ x+x_0 \not\in \mathbb{Z}}\). Zatem
\(\displaystyle{ (x,y)}\) nie może leżeć we wnętrzu
\(\displaystyle{ \mathbb{Z} \times \mathbb{Q}}\).
Re: Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesow
: 2 gru 2018, o 18:54
autor: Jan Kraszewski
bartek118 pisze:Czemu aż tak?
A, taki odruch... Zbiór przeliczalny jest I kategorii Baire'a, więc z tw. Baire'a ma puste wnętrze. Ale oczywiście można elementarnie.
JK