Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesowej

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
miki314
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 48
Rejestracja: 12 gru 2015, o 18:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy

Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesowej

Post autor: miki314 » 2 gru 2018, o 12:19

\(\displaystyle{ \mathbb{Z} \times \mathbb{Q}}\). Odpowiedź uzasadnij.

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5971
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Re: Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesow

Post autor: bartek118 » 2 gru 2018, o 12:27

Domknięcie i wnętrze w jakiej przestrzeni?

miki314
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 48
Rejestracja: 12 gru 2015, o 18:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy

Re: Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesow

Post autor: miki314 » 2 gru 2018, o 12:34

W przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) z topologią naturalną

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25367
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4223 razy

Re: Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesow

Post autor: Jan Kraszewski » 2 gru 2018, o 17:17

W \(\displaystyle{ \RR^n}\) to tylko dla \(\displaystyle{ n=2}\)...

JK

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5971
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Re: Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesow

Post autor: bartek118 » 2 gru 2018, o 17:54

No to jaki masz problem z wnętrzem? Czy jesteś w stanie w tym zbiorze wskazać taki punkt, wraz z którym w zbiorze znajduje się jakieś małe kółko?

miki314
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 48
Rejestracja: 12 gru 2015, o 18:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy

Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesowej

Post autor: miki314 » 2 gru 2018, o 18:20

Wnętrze to \(\displaystyle{ \emptyset}\) a domknięcie \(\displaystyle{ \mathbb{Z} \times \mathbb{R}}\). Tylko jest to podejście intuicyjne, a mi chodzi o bardziej formalny zapis.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25367
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4223 razy

Re: Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesow

Post autor: Jan Kraszewski » 2 gru 2018, o 18:31

No to formalnie do wnętrza zastosuj tw. Baire'a.

JK

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5971
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Re: Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesow

Post autor: bartek118 » 2 gru 2018, o 18:41

[quote="Jan Kraszewski"]No to formalnie do wnętrza zastosuj tw. Baire'a.

JK[/quote]

Czemu aż tak?
Ustalmy parę \(\displaystyle{ (x,y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Q}}\). Przypuśćmy, że istnieje \(\displaystyle{ r > 0}\) taki, że \(\displaystyle{ B((x,y), r) \subset \mathbb{Z} \times \mathbb{Q}}\). Niech \(\displaystyle{ x_0 = \min \left\{ \frac{1}{2}, \frac{r}{2} \right\}}\). Wówczas \(\displaystyle{ (x+x_0, y) \in B((x,y), r)}\), ale \(\displaystyle{ (x+x_0, y) \not\in \mathbb{Z} \times \mathbb{Q}}\), gdyż \(\displaystyle{ x+x_0 \not\in \mathbb{Z}}\). Zatem \(\displaystyle{ (x,y)}\) nie może leżeć we wnętrzu \(\displaystyle{ \mathbb{Z} \times \mathbb{Q}}\).

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25367
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4223 razy

Re: Wyznacz domknięcie i wnętrze zbioru w metryce euklidesow

Post autor: Jan Kraszewski » 2 gru 2018, o 18:54

[quote="bartek118"]Czemu aż tak?[/quote]
A, taki odruch... Zbiór przeliczalny jest I kategorii Baire'a, więc z tw. Baire'a ma puste wnętrze. Ale oczywiście można elementarnie.

JK

ODPOWIEDZ